6.2.3 向量的数乘运算（教学课件）-【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量 6.2.3 向量的数乘运算 人教A版2019必修二 1 学科素养 利用有向线段将平面向量的数乘运算具体化 数学抽象 掌握平面向量数乘运算，利用向量的运算解决实际问题 数学建模 通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力 逻辑推理 利用 通过有向线段直观判断平面向量的数乘运算 直观想象 数学分析 能够正确计算和判断向量的数乘运算 数学运算 16:17 16:17 2 向量的数乘运算 创设情境 问题1：(1)向量是如何进行加法和减法运算?你能总结一下我们的研究方法与路径吗? (2)你认为我们还可以研究向量的什么运算? (3)如果实数与向量可以做乘法运算，你认为应该怎样去研究这种运算? 3 向量的数乘运算 新知探究 问题2：已知非零向量 ，作出 和 ，它们的长度和方向是怎样的？ O A B C N M Q P 类比乘法 记作 相同 方向 长度 的3倍 类比乘法 记作 相反 方向 长度 的3倍 追问：在整式运算中，我们可以将x+x+x用乘法简写为3x。对于非零向量a，a+a+a我们可以怎样简写呢？ 4 向量的数乘运算 新知探究 思考： 思考：已知非零向量a， a的长度与方向分别是怎样的？ 5 一般地，我们规定实数λ与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 提出定义 向量的数乘 它的长度和方向规定如下： 几何意义：将 的长度扩大(或缩小)|λ|倍，改变(不改变) 的方向， 就得到了 特别地，当λ=0或 时， （1）长度 （2）方向当λ>0时， 的方向与 方向相同； 当λ<0时， 的方向与 方向相反. 思考：你对零向量、相反向量有什么新的认识? 向量的数乘运算 6 向量的数乘运算 新知探究 = 问题3： 求作向量 和 ( 为非零向量)，向量 和 ,向量 和 ,并进行比较. 7 向量的数乘运算律 (λμ)a λa＋μa λa＋λb －(λa) λ(－a) λa－λb 线性 向量 λu1a±λu2b 向量的数乘运算 8 向量的数乘运算 新知探究 问题4：通过练习，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 实数与向量的积与原向量共线 追问1：a＝λb⇒a与b共线，对吗？ 正确 追问2：若a与b共线，一定有a＝λb吗？ 不一定．当b＝0，a＝0时，λ有无数个值；当b＝0，a≠0时，λ无解；只有当b≠0时，才有a＝λb. 一定存在,且是唯一的. 9 共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使_________. b＝λa 思考：为什么a要是非零向量？b可以是非零向量吗？ 向量的数乘运算 10 牛刀小试 向量的数乘运算 11 例练结合 例1：计算 解：（1）原式= （2）原式= （3）原式= 向量的数乘运算 12 方法小结 3:6 向量的数乘运算类似于实数运算,遵循括号内运算优先原则,将相同的向量看作“同类项”进行合并.向量的数乘要注意所得结果仍是向量,同时要在理解其几何意义的基础上,熟练运用运算律. 向量的数乘运算技巧 向量的数乘运算 13 例练结合 例2：□ABCD的两条对角线相交于点M，且 试用 表示向量 和 A B D C M 解：在□ABCD中， 由平行四边形的两条对角线互相平分，得 向量的数乘运算 14 例练结合   A B C 解： 所求作如图示， 由所作图猜想A,B,C三点共线. 证明如下： 例3 如图，已知任意两个非零向量 ，试作 . 猜想A, B, C 三点之间的位置关系，并证明你的猜想. 向量的数乘运算 例练结合 例4 已知a，b是两个不共线的向量，向量b-ta与 a- b共线，求实数t. 解： 向量的数乘运算 方法小结 3:6 向量共线定理的应用 向量的数乘运算 17 例练结合 向量的数乘运算 例练结合 向量的数乘运算 方法小结 3:6 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法．