3.4协方差与相关系数（课件）- 《概率论与数理统计(第3版) 》同步教学（高教版）

2024-02-21

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内容正文：

第三章随机变量的数字特征 §3.4 协方差与相关系数第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.4 协方差与相关系数随机变量的离差与随机变量的离差的乘积的数学期望叫做随机变量与的协方差(或相关矩）. 记作：即 1.协方差 [定义1] 第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.4 协方差与相关系数证： [定理1]  协方差的计算公式第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.4 协方差与相关系数 [例1] 设二维随机变量的联合概率分布如下：求协方差解：由上表可知的边缘概率分布为：第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.4 协方差与相关系数所以第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.4 协方差与相关系数 [定理2] 设随机变量与独立，则证：因为与独立，所以于是第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.4 协方差与相关系数注： ① 由不能推出与独立. 上题中, 但是与不独立. ② 由定理2 ,若则与不独立，即它们之间具有某种联系. 第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.4 协方差与相关系数 [例2] 设与是任意两个随机变量，证明：证：第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.4 协方差与相关系数协方差不适宜用作描述随机变量之间的相关性. 1. 如果随机变量与中的任一个与其数学期望的离差很小, 则无论随机变量与之间有多么密切的联系，它们的协方差总是很接近于零. 2. 协方差是有量纲的量. 其量纲等于及的量纲的乘积. 2.相关系数第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.4 协方差与相关系数为了得到描述随机变量之间的相关性的与量纲无关的数字特征. 将标准化： [定义2] 与的协方差叫做与的相关系数. 记作：第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.4 协方差与相关系数  相关系数的计算公式第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.4 协方差与相关系数 [定理3] 任意两个随机变量的相关系数的绝对值不大于即证：第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.4 协方差与相关系数又因为，所以得到因为方差不可能为负数，由此得所以有类似可得第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.4 协方差与相关系数 [定理4] 当且仅当随机变量与之间存在线性关系时，相关系数的绝对值等于并且证：因为所以于是第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.4 协方差与相关系数从而，所以当时，当时，第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.4 协方差与相关系数由定理3的证明过程知若则即以等于的概率取唯一值——它的数学期望：所以，当时，即其中第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.4 协方差与相关系数说明：相关系数刻画的是随机变量与线性相关的程度. [定理5] 若随机变量与独立，则它们的相关系数等于即注意：反之不成立. 当时，表明与有近似的线性相关关系，且越接近时，线性相关关系越明显；当时，则与之间不存在线性相关关系. 第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.4 协方差与相关系数 1. 协方差的定义： 2. 协方差的计算公式： 3. 若与独立，则（反之不成立） 4. 相关系数：小结第三章

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