3.2方差（课件）- 《概率论与数理统计(第3版) 》同步教学（高教版）

2024-02-21

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内容正文：

第三章随机变量的数字特征 §3.2 方差第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.2 方差 [引例] 设与都服从均匀分布，概率密度分别为：易知虽然它们的数学期望相同，但它们的分布却有着显著的不同. 的可能值比较集中，而的可能值则比较分散. 1.方差的定义与计算公式第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.2 方差由此可见，为了表示随机变量的分布特征，研究随机变量的取值与其均值的偏离程度是十分必要的. 下面引进描述随机变量分布的分散程度的数字特征 ——方差. [定义1] 随机变量与其数学期望的差，叫做的离差. 注：随机变量离差的数学期望恒等于零. 第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.2 方差 [定义2] 随机变量的离差的平方的数学期望，叫做随机变量的方差. 记作：即 [定义3] 称为的标准差或均方差. 记作：即在实际问题中，一般用来衡量偏离程度. 第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.2 方差证：由方差的定义及关于数学期望的定理得 [方差的计算公式] 第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.2 方差 [例1] 设随机变量服从分布，即求方差解：第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.2 方差求取球次数的方差与标准差. [例2] 球,直至取到白球为止．每次从袋中任取1个（2）每次取出的黑球仍放回去. 个白球，袋中有个黑球，（1）每次取出的黑球不再放回去；假定：解：依题意的概率分布为：（1）设表示取球次数，所以，第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.2 方差又所以，（2）设表示此时的取球次数，依题意可知的概率函数为：由§3.1的例2知: 第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.2 方差又利用幂级数的展开式可得所以，第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.2 方差设随机变量服从二项分布 [例3] 解：由§3.1的例3知，设得第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.2 方差与数学期望的计算过程完全类似，可知上式括弧中第一个和式等于而第二个和式等于所以由此得第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.2 方差设随机变量服从泊松分布 [例4] 解：由§3.1的例4知，所以设得第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.2 方差 [例5] 求的概率密度已知连续随机变量由§3.1的例5知，现计算所以解: 第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.2 方差设随机变量在区间上服从均匀分布， [例6] 由§3.1的例6知，现计算解: 所以第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.2 方差设随机变量服从指数分布 [例7] 由§3.1的例7知，现计算解: 所以置换积分变量得第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.2 方差 [定理1] 常量的方差等于零：其中为常量. 证： [定理2] 常量与随机变量的乘积的方差等于这个常量的平方与随机变量的方差的乘积：证： 2.关于方差的定理第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.2 方差 [定理3] 两个独立随机变量的和的方差等于它们的方差的和：证：第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §

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