3.1数学期望（课件）- 《概率论与数理统计(第3版) 》同步教学（高教版）

2024-02-21

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第三章随机变量的数字特征 §3.1 数学期望第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.1 数学期望什么是随机变量的数字特征？所谓随机变量的数字特征指的是由随机变量的分布所决定的常数. 这个常数刻画了随机变量某一方面的特征. 最重要的数字特征：数学期望、方差、各阶矩. 第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.1 数学期望 [引例] 某车间对工人的生产情况进行考察，小张每天生产的废品数是一个随机变量. 如何来定义的平对小张的生产情况统计天，发现这天中天没出现废品；天每天出一件废品；天每天出二件废品；天每天出三件废品. 1.离散随机变量的数学期望均值呢？分析: 第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.1 数学期望得到这天中每天生产的平均废品数为这是以频率为权的加权平均. 这个值是不确定的. 但是，当很大时，频率稳定于概率. 令表示每天生产件废品的概率. 用概率代替频率得到平均值这是以概率为权的加权平均，数学期望．称这个数为的均值或第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.1 数学期望其概率函数为［定义］设随机变量是离散随机变量，的数学期望，记为其可能值为若级数绝对收敛，即注：如果级数不绝对收敛，则　的数学期望不存在．则称为随机变量第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.1 数学期望为：解：的概率分布表即 [例1] 分布，服从设随机变量求的数学期望第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.1 数学期望每次从中任取一球，直至取到白球为止．（2）每次取出的黑球仍放回去. 求取球次数的数学期望. 解：依题意的概率分布为：表示取球次数，（1）设 [例2] 个白球，袋中有个黑球，（1）每次取出的黑球不再放回去；假定：所以，第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.1 数学期望（2）设表示此时的取球次数，依题意可知的概率函数为：所以，利用幂级数展开式可得第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.1 数学期望设随机变量服从二项分布设得二项分布的数学期望等于参数与的乘积. [例3] 解：第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.1 数学期望设随机变量服从泊松分布设得泊松分布的数学期望就是参数 [例4] 解：第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.1 数学期望则的数学期望定义为： [定义2] 注：如果反常积分不绝对收敛，不存在. 则的概率密度为设连续随机变量２.连续随机变量的数学期望第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.1 数学期望求数学期望 [例5] 已知连续随机变量的概率密度解：常数R>0，第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.1 数学期望设随机变量在区间上服从均匀分布，均匀分布的数学期望正是随机变量分布区间的中点值. [例6] 解： X的密度函数为第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.1 数学期望设随机变量服从指数分布置换积分变量得指数分布的数学期望等于其参数的倒数. [例7] 解：第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.1 数学期望求数学期望 [例8] 服从柯西分布：设随机变量解：因为反常积分不绝对收敛, 不存在. 所以第三章随机变量的数字特征上一页下一页概率论与数理统计（第二版）目录结束返回 §3.1 数学期望可列表如下：（1）设离散随机变量的概率分布为则随机变量的可能值与取得这些

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