专题2 水平面内和竖直面内的圆周运动-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中物理必修 第二册（人教版）

专题2　水平面内和竖直面内的圆周运动 　 探究一 水平面内的匀速圆周运动 1.常见模型。 2.解答水平面内圆周运动临界问题的三个关键点。 (1)物体沿竖直方向的合力为零。 (2)水平方向沿半径指向圆心的合力提供向心力。 (3)对于处于水平圆盘(台)上的物体,当物体与水平面间的静摩擦力达到最大静摩擦力时往往对应着临界状态及条件。 【例1】　 如图所示,水平转盘上放有质量为m的物体(可视为质点),连接物体和转轴的不可伸长的绳子长为r,物体与转盘间的最大静摩擦力是转盘所受压力的μ倍,转盘的角速度由零逐渐增大,g为重力加速度,求: (1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度; (2)当角速度为时,绳子对物体拉力的大小。 解析　(1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时,绳子拉力为零且转速达到最大,设转盘转动的角速度为ω0, 则μmg=mr,解得ω0=。 (2)当ω=时,ω>ω0,所以绳子的拉力F和最大静摩擦力共同提供向心力, 则F+μmg=mω2r,解得F=μmg。 答案　(1)　(2)μmg 　　刚好由最大静摩擦力提供向心力是绳子有无拉力的临界状态,当角速度小于临界角速度ω0=时,由静摩擦力提供向心力,且随角速度的增大,静摩擦力增大;当角速度大于临界角速度ω0=时,绳子有拉力,随角速度的增大,静摩擦力为最大静摩擦力且不变,绳子拉力不断增大。 【针对训练1】　 如图所示,用一根长为l=1 m的细线,一端系一质量为m=1 kg的小球(可视为质点),另一端固定在一光滑锥体顶端,锥面与竖直方向的夹角θ=37°,当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时,细线的张力为FT(g取 10 m/s2,结果可用根式表示,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)。 (1)若要小球离开锥面,则小球的角速度ω0至少为多大? (2)若细线与竖直方向间的夹角为60°,则小球的角速度ω'为多大? 解析　(1) 若要小球刚好离开锥面,此时小球只受到重力和细线的拉力作用,如图所示。 小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上,故向心力水平,在水平方向上运用牛顿第二定律及向心力公式得mgtan θ=mlsin θ, 解得ω0== rad/s。 (2)当细线与竖直方向成60°角时,小球已离开锥面,由牛顿第二定律及向心力公式有mgtan α=mω'2lsin α, 解得ω'==2 rad/s。 答案　(1) rad/s　(2)2 rad/s 探究二 竖直面内的圆周运动 　　物体在竖直平面内做圆周运动时,通常受弹力和重力两个力的作用,物体做变速圆周运动,我们只研究在最高点和最低点两种情形,具体情况又可分为以下两种。 模型 临界条件 最高点受力分析 细绳牵拉型的圆周运动 小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动,如图所示 小球恰好过最高点时,应满足弹力FT=0,即mg=,则小球在竖直平面内做圆周运动最高点的临界速度v= v>时,绳或轨道对小球产生向下的拉力或压力 v=时,绳或轨道对小球刚好不产生作用力 小球在细绳作用下在竖直平面内做圆周运动,如图所示 v<时,小球不能在竖直平面内做完整的圆周运动,小球没有到达最高点就脱离了轨道 轻杆支撑型的圆周运动 小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动,如图所示 由于杆和管能对小球产生向上的支持力,故小球能在竖直平面内做圆周运动的临界条件是最高点速度恰好为零 v>时,杆或管的外侧产生向下的拉力或压力 v=时,球在最高点只受重力,不受杆或管的作用力 小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动,如图所示 v<时,杆或管的内侧产生向上的支持力 特别提醒　解答竖直平面内圆周运动问题时,首先要分清楚是绳模型还是杆模型,绳模型的临界条件是在最高点mg=,即v=,杆模型的临界条件是在最高点v=0,v=对杆来说是F表现为支持力还是拉力的临界点。 【例2】　长L=0.5 m质量可忽略的细杆,其一端可绕O点在竖直平面内转动,另一端固定着一个小球。小球的质量为m=2 kg,当小球通过最高点时,如图所示,求在下列两种情况下小球对杆的作用力: (1)小球在最高点的速度为1 m/s; (2)小球在最高点的速度为4 m/s。 小球与杆之间恰好没有作用力时,mg=m,v0== m/s速度为1 m/s时,小于v0,小球受向上的支持力 速度为4 m/s时,大于v0,小球受向下的拉力根据牛顿第二定律列方程求解 解析　(1)设小球在最高点的速度为v0时,与杆之间恰好没有相互作用力,此时向心力完全由重力提供,根据牛顿第二定律有mg=m, 解得v0== m/s, 当小球在最高点的速度为v1=1 m/s时,因v1<v0,此时物体小球受到杆向上的支持力