第4章 随机变量的数字特征（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（人邮版）

第四章随机变量的数字特征 工二二二二二二二二二二 4.1随机变量的数学期望 4.2随机变量的方差 4.3常见分布的数学期望与方差 4.4协方差与相关系数 4.5分布的其他数字特征 上页 下页 返回 主 4.1随机变量的数学期望 (一)离散型随机变量的数学期望 定义4.1如果离散型随机变量X的分布律为P(X=x)=Pk,k=1,2, ∑xP<+0,则称∑xP为X的数学期望，记为E(X)=∑Pe, 例4.1已知随机变量X的分布律如下，求X的数学期望 E(X). X -2 1 4 5 p 0.1 0.3 0.3 0.2 0.1 解：E(X=(-2)×0.1+0×0.3+1×0.3+4×0.2+5×0.1=1.4 上页 返回 例4.2一工厂生产的某件设备的寿命X（以年计)服从指 数分布，其密度函数为 f(x)= .25e025,x≥0 0 x<0, 工厂规定，出售的设备若在一年内损坏可以调换，若工厂 出售一台设备获利润100元，调换一台设备厂方需花费300 元.求厂方出售一台设备获利的数学期望. 解设Y表示厂方出售一台设备所获利润，则Y的分布律为 pY=100)=P(X>1)=fx)d=∫0.25eo25d =-e025x=e025 p(Y=-200)=p(X≤1)=1-p(X>1)=1-e025 E(Y)=100×e025+(-200)×(1-e025)=300e25-200≈33.64 上页 返回 (二)连续型随机变量的数学期望 定义4.2如果连续型随机变量X的密度函数为f(x),若 工二二二二二二二二二二二二二二二 「xf()d<o,则称xf(x)d为X的数学期望，记为 E(X)=∫f(x)d 例4.3如果随机变量X的密度函数为f(= 4cos 0,其他， 求A及E(X): π 解：∫fx)dx=J信Acosad=2A2 cod=2 dsinx8-2A- A-2而EC)-osad:=0 上页 返回 (三)随机变量函数的期望 定理4.1设Y=h()是随机变量X的一个已知函数， (1)如果X是离散型随机变量，且其分布律为 P(X=xx)=P,k=1,2· 则Eh(X)]=∑h(x)P (2)如果X是连续型随机变量，且密度函数为x) 则Eh(X)]=∫hx)f(x)dx 上页 下页 返回 定理4.2设h(X,Y)是二维随机变量(X,Y)的函数 ①如果(X,Y)是离散型，其分布律为p{X=x,Y=以}=P, i,j=1,2,则Eh(X,Y)]=∑∑h(x,y)p i=l i=l (2)如果(X,Y)是连续型，其联合密度为f(x,y),则 ETh(X,)]=h(x.y)f(x.y)dxdy. 例4.4设随机变量X的分布律为如下，求E(X2). X -2 0 1 4 5 p 0.1 0.3 0.3 0.2 0.1 解：E(X2)=(-2)2×0.1+02×0.3+12×0.3+42×0.2+52×0.1=6.4. 例4.5设X~U(0,1),求E(e). 解：E(e)=∫efx)dr=∫edc=e6=e-l 上页 返回 例4.6设连续型随机变量X的密度函数为 f=4e2,x>0 o,x≤0. 求(I)常数4；(2)E(X+2) 解0fu灿-∫0+。4ed=e“5-号 -1→A=2. 2 (2)E(X+2)=∫(x+2)f(x)d =(x+2)2e2dr =-(x+2)e26+0e2d 26 上页 下页 返回 例4.7设(X,Y)的联合密度函数为 +y,0≤x≤1,0≤y≤3 x0=6 0, 其他 求E(X),E(Y)及E(X+Y) 解E=广」xtd-名+puk 24 -广n*t Ex+)=∫∫(x+)fx,y)dd -)ddy-fdv(+)drdy- 7 6 上页 下页 返回 例4.8设(X,Y)的联合密度函数为 12y2,0≤y≤x≤： 主安二平二十二工二十二二 求E(XY),E(X2+Y2), 解E(Y)=∫∫w(x,y)dd -dxfx12ydv -3rax号 E(x2+y)=」∫(x2+y)fx,ydd =d。x+y12yd =器治2-9 上页 下页 返回 例4.9 假定在国示市场上每年钗对我国种商品的需求量X服队从☒间 「2000,40001上的均匀分布单位：吨.设海售出1吨这种商品可获 利秒万元诺销售不出囤于仓库 则海吨需花保管费万元问需 组织多少货源能利最大？ 解设Z为获利数，x为组织的货源数，X为需求量，则X的密度函数为 2000≤x≤4000： f(x)= 2000 0 ,其他 Z= 3x ,X≥X; 3X-(x-X)=4X-x Y<x. Bz=200[4w-t+3aa]0o-2+7oor-400 当=3500时上取得最大值故当半组只500啦货时利最大 上 返回