6.4.3 第2课时 正弦定理-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

第二课时　正弦定理　　　　　► 对应学生用书P37 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 1．正弦定理 条件 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c 结论 ＝＝ 文字 叙述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 2.正弦定理的常见变形 (1)＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径). (2)a＝2R__sin__A，b＝2R__sin__B，c＝2R__sin__C(R为△ABC外接圆的半径). (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径). (4)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. (5)＝＝＝. (6)a sin B＝b sin A，a sin C＝c sin A，b sin C＝c sin B. (7)在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin__A>sin__B． 3．常用三角形面积公式 (1)S＝aha＝bhb＝chc； (2)S＝ab sin C ＝bc sin A＝ca sin B. 想一想：设A，B两点分别在河的两岸，测量者在B的同侧，为了得到 A，B两点之间的距离，在所在的河岸选定一个点C，测出BC的距离是24 m. (1)如图1，若测得∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，你能求出A，B两点间的距离吗？ (2)如图2，若测得∠B＝45°，∠C＝60°，你能求出A，B两点间的距离吗？ 提示：(1)由题意，△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理可得斜边AB＝24 m. (2)已知三角形两角及一条边的长度，可利用本节课要学习的正弦定理求边AB的长，即A，B两点间的距离． 【基点小试】 1．在△ABC中，a＝，b＝1，B＝30°，则A＝(　　 ) A．30° B．60° C．60°或120° D．120° 解析：选C.∵a＝，b＝1，B＝30°， ∴根据正弦定理＝，得sin A＝＝＝， 又a>b，得到A>B，即30°<A<180°， 则A＝60°或120°. 2．在△ABC中，A＝105°，C＝45°，AB＝4，则AC＝(　　 ) A．1 B．2 C．2 D．2 解析：选C.由题意可得B＝180°－A－C＝30°，由正弦定理＝， 得AC＝＝2. 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　已知两角及一边解三角形 例1.(2023·陕西咸阳高二检测)在△ABC中，B＝，C＝，a＝5，则此三角形的最大边长为____________． 解析：利用正弦定理可知，B对的边最大， ∵B＝，C＝，∴A＝， ∴＝， ∴b＝＝＝5. 答案：5 [总结] 　已知两角及一边解三角形的一般步骤 注意：若已知角不是特殊角，往往先求出其正弦值，再根据上述步骤求解．此时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差． 【练一练】 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cos A＝，则b等于(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.因为cos A＝，所以sin A＝＝， 所以sinC＝sin ＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝cos 45°＋sin 45°＝， 由正弦定理＝，得b＝sin 45°＝. 题型二　已知两边及其中一边的对角解三角形 例2.在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，解此三角形. 解：由正弦定理知＝， 即＝，解得sin A＝， ∴A＝60°或120°. 当A＝60°时，C＝75°，由正弦定理知＝， 即c＝＝＝. 当A＝120°时，C＝15°，由正弦定理知＝， 即c＝＝＝. 故A＝60°，C＝75°，c＝或A＝120°，C＝15°，c＝. [总结] 　已知两边及其中一边的对角解三角形的步骤 【练一练】 2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2b＝a，A＝，则cos B＝(　　 ) A．± B．± C． D． 解析：选C.在△ABC中，由正弦定理及2b＝a得2sin B＝sin A＝sin ， 解得sin B＝，在△ABC中，b＝a<a，即B<A，于是B为锐角， 所以cos B＝＝. 题型三　判断三角形形状 例3.在△ABC中，若sinA＝2sin B cos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状． 解：法一(利用角的互余关系)　根据正弦定理，得＝＝， ∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2， ∴A是直角，B＋C＝90°， ∴2sinB cos C＝2sin B cos (90°－B)＝2sin2B＝sinA＝1， ∴sin B＝. ∵0°<B<90°，∴B＝45°，C＝45°， ∴△ABC