6.4.3 第2课时 正弦定理-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

 

第二课时　正弦定理　　　　　► 对应学生用书P37

　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识

1．正弦定理

2.正弦定理的常见变形

(1)＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径).

(2)a＝2R__sin__A，b＝2R__sin__B，c＝2R__sin__C(R为△ABC外接圆的半径).

(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径).

(4)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.

(5)＝＝＝.

(6)a sin B＝b sin A，a sin C＝c sin A，b sin C＝c sin B.

(7)在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin__A>sin__B．

3．常用三角形面积公式

(1)S＝aha＝bhb＝chc；

(2)S＝ab sin C ＝bc sin A＝ca sin B.

想一想：设A，B两点分别在河的两岸，测量者在B的同侧，为了得到 A，B两点之间的距离，在所在的河岸选定一个点C，测出BC的距离是24 m.

(1)如图1，若测得∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，你能求出A，B两点间的距离吗？

(2)如图2，若测得∠B＝45°，∠C＝60°，你能求出A，B两点间的距离吗？

提示：(1)由题意，△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理可得斜边AB＝24 m.

(2)已知三角形两角及一条边的长度，可利用本节课要学习的正弦定理求边AB的长，即A，B两点间的距离．

【基点小试】

1．在△ABC中，a＝，b＝1，B＝30°，则A＝(　　 )

A．30°          B．60°

C．60°或120°    D．120°

解析：选C.∵a＝，b＝1，B＝30°，

∴根据正弦定理＝，得sin A＝＝＝，

又a>b，得到A>B，即30°<A<180°，

则A＝60°或120°.

2．在△ABC中，A＝105°，C＝45°，AB＝4，则AC＝(　　 )

A．1       B．2

C．2    D．2

解析：选C.由题意可得B＝180°－A－C＝30°，由正弦定理＝，

得AC＝＝2.

　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力

题型一　已知两角及一边解三角形

例1.(2023·陕西咸阳高二检测)在△ABC中，B＝，C＝，a＝5，则此三角形的最大边长为____________．

解析：利用正弦定理可知，B对的边最大，

∵B＝，C＝，∴A＝，

∴＝，

∴b＝＝＝5.

答案：5

[总结] 　已知两角及一边解三角形的一般步骤

注意：若已知角不是特殊角，往往先求出其正弦值，再根据上述步骤求解．此时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差．

【练一练】

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cos A＝，则b等于(　　 )

A．    B．    C．    D．

解析：选C.因为cos A＝，所以sin A＝＝，

所以sinC＝sin ＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝cos 45°＋sin 45°＝，

由正弦定理＝，得b＝sin 45°＝.

题型二　已知两边及其中一边的对角解三角形

例2.在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，解此三角形.

解：由正弦定理知＝，

即＝，解得sin A＝，

∴A＝60°或120°.

当A＝60°时，C＝75°，由正弦定理知＝，

即c＝＝＝.