6.4.1 平面几何中的向量方法&6.4.2 向量在物理中的应用举例-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

6．4　平面向量的应用　　　　► 对应学生用书P30 6．4．1　平面几何中的向量方法 6．4．2　向量在物理中的应用举例 [课程标准]　1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题．　 2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、向量在平面几何中的应用 用向量方法解决平面几何问题的步骤： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 二、向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等． (2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解． (3)动量mv是向量的数乘运算． (4)功是力F与所产生的位移s的数量积． 【基点小试】 1．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(　　 ) A．10 m/s B．2 m/s C．4 m/s D．12 m/s 解析：选B.由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如图． 所以小船在静水中的速度大小|v|＝＝2(m/s). 2．在△ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，AM＝2MB，AN＝2NC.求证：MN∥BC. 证明：设＝a，＝b，则＝－＝b－a. 又AM＝2MB，AN＝2NC，所以＝＝a，＝＝b. 在△AMN中，＝－＝， 所以＝，即与共线，故MN∥BC. 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　利用向量解决平面几何中的问题 角度1　证明(判断)平行或共线问题 例1.已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明： (1)DE∥BC； (2)D，M，B三点共线． 证明：如图，以E为坐标原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 令AD＝1，则DC＝1，AB＝2. ∵CE⊥AB，AD＝DC， ∴四边形AECD为正方形． ∴各点的坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1)，A(－1，0). (1)∵＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)，＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1). ∴＝，∴∥.∵B，C，D三点不共线，∴DE∥BC. (2)如图，连接MB，MD.∵M为CE的中点，∴M.∴＝(－1，1)－＝，＝(1，0)－＝.∴＝－，∴∥. 又∵与有公共点M，∴D，M，B三点共线． [总结] 　用向量法证明平面几何中AB∥CD的两种方法 法一　①选择一组向量作基底；②用基底表示和；③寻找实数λ，使＝λ，即∥；④给出几何结论AB∥CD. 法二　先求，的坐标，＝(x1，y1)，＝(x2，y2).利用向量共线的坐标关系x1y2－x2y1＝0得到∥，再给出几何结论AB∥CD. 以上两种方法，都是建立在A，B，C，D中任意三点都不共线的基础上，由∥得到AB∥CD. 角度2　证明(判断)垂直问题 例2.如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF. 证明：法一　设正方形ABCD的边长为1, AE＝a(0<a<1)， 则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a， 所以·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋· ＝1×a cos 180° ＋1×(1－a)cos 90° ＋a×a cos 45° ＋a×(1－a)cos 45° ＝0， 所以⊥，即DP⊥EF. 法二　设正方形边长为1，建立平面直角坐标系，如图， 设P(x，x)，则D(0，1)，E(x，0)，F(1，x)，所以＝(x，x－1)，＝(1－x，x)， ·＝x(1－x)＋x(x－1)＝0， 所以⊥，即DP⊥EF. [总结] 　向量法证明平面几何中AB⊥CD的两种方法 法一　①选择一组向量作基底；②用基底表示和；③证明·的值为0；④给出几何结论AB⊥CD. 法二　先求，的坐标，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，再计算·的值为0，从而得到几何结论AB⊥CD. 角度3　解决线段长度问题 例3.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n. (1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB； (2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示). 解：(1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n，0). ∵D为AB的中点，∴D， ∴||＝ ，||＝ ， ∴||＝ ||，即CD＝AB. (