6.4.1 平面几何中的向量方法&6.4.2 向量在物理中的应用举例-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

 

 

 

6．4　平面向量的应用　　　　► 对应学生用书P30

6．4．1　平面几何中的向量方法

6．4．2　向量在物理中的应用举例

[课程标准]　1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题．　

2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用．

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一、向量在平面几何中的应用

用向量方法解决平面几何问题的步骤：

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系．

二、向量在物理中的应用

(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等．

(2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解．

(3)动量mv是向量的数乘运算．

(4)功是力F与所产生的位移s的数量积．

【基点小试】

1．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(　　 )

A．10 m/s      B．2 m/s

C．4 m/s    D．12 m/s

解析：选B.由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如图．

所以小船在静水中的速度大小|v|＝＝2(m/s).

2．在△ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，AM＝2MB，AN＝2NC.求证：MN∥BC.

证明：设＝a，＝b，则＝－＝b－a.

又AM＝2MB，AN＝2NC，所以＝＝a，＝＝b.

在△AMN中，＝－＝，

所以＝，即与共线，故MN∥BC.

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题型一　利用向量解决平面几何中的问题

角度1　证明(判断)平行或共线问题

 

例1.已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：

(1)DE∥BC；

(2)D，M，B三点共线．

证明：如图，以E为坐标原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系．

令AD＝1，则DC＝1，AB＝2.

∵CE⊥AB，AD＝DC，

∴四边形AECD为正方形．

∴各点的坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1)，A(－1，0).

(1)∵＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)，＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1).

∴＝，∴∥.∵B，C，D三点不共线，∴DE∥BC.

(2)如图，连接MB，MD.∵M为CE的中点，∴M.∴＝(－1，1)－＝，＝(1，0)－＝.∴＝－，∴∥.

又∵与有公共点M，∴D，M，B三点共线．

[总结] 　用向量法证明平面几何中AB∥CD的两种方法

法一　①选择一组向量作基底；②用基底表示和；③寻找实数λ，使＝λ，即∥；④给出几何结论AB∥CD.

法二　先求，的坐标，＝(x1，y1)，＝(x2，y2).利用向量共线的坐标关系x1y2－x2y1＝0得到∥，再给出几何结论AB∥CD.

以上两种方法，都是建立在A，B，C，D中任意三点都不共线的基础上，由∥得到AB∥CD.

角度2　证明(判断)垂直问题

例2.如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.

证明：法一　设正方形ABCD的边长为1, AE＝a(0<a<1)，

则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a，

所以·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·

＝1×a cos 180° ＋1×(1－a)cos 90° ＋a×a cos 45° ＋a×(1－a)cos 45° ＝0，

所以⊥，即DP⊥EF.