23.1图形的旋转 讲义 2023-2024学年人教版九年级数学上册

23.1 图形的旋转★★☆☆☆☆ 【新手目标】 通过本关，了解旋转与中心对称的定义与性质，会利用性质进行计算与证明。 关卡1-1旋转★★☆☆☆☆ 【过关笔记】 1.概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 2.三要素：旋转中心，旋转角，旋转方向。 3.性质：A对应点到旋转中心的距离相等； B 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； C旋转前后的图形全等。 4.作图步骤：1.确定旋转中心； 2.确定旋转角的大小和方向； 3.确定每对对应点； 4.确定旋转后的图形。 【成长例题】 例题1（2020·一中·期中）下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是（　C　） A． 等边三角形 B． 平行四边形 C． 正八边形 D． 圆及其一条弦 例题2-1（2021·一中·期中）如图，在正方形ABCD中，△ABE经旋转，可与△CBF重合，AE的延长线交FC于点M，以下结论正确的是（　C　） 2-1图 2-2图 A．BE＝CE B．FM＝MC C．AM⊥FC D．BF⊥CF 例题2-2（2020·五中·期中）如图，将一个顶角为30°角的等腰△ABC绕点A顺时针旋转一个角度α（0＜α＜180°）得到△AB'C′，使得点B′、A、C在同一条直线上，则α等于　105　°． 例题2-3（2021·十七中·期中）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（　B　） 2-3图 3-1图 A．15° B．30° C．45° D．60° 例题3-1（2021·十七中·期中） 如图，点A在x轴上，∠OAB＝90°，∠B＝30°，OB＝6，将△OAB绕点O按顺时针方向旋转120°得到△OA'B'，则点B'的坐标是（　D　） A． B． C． D． 例题3-2 （2021·育才·期中）如图，将边长为的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中点M的坐标为（　B　） A．（，1） B．（1，） C．（，） D．（，） 例题4-1（2021·十七中·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长是 　　． 例题4-2（2019·育才·第三次月考）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点灯A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则点C′到BC的距离为　　． 【解答】解：如图，连接CC′，过C'作C'D⊥BC于D， ∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′， ∴AC＝AC′，∠CAC′＝60°，∴△ACC′是等边三角形， ∴∠ACC'＝60°，CC'＝AC＝， ∵△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠DCC'＝30°， ∴Rt△DCC'中，C'D＝CC'＝，即点C′到BC的距离为． 例题4-3（2019·雁南·期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′＝32°，则∠B的大小是（　C　） A．32° B．64° C．77° D．87° 例题4-4（2021·十七中·期中）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．若DF＝3，则BE的长为　2　． 例题5-1（2020·一中·月考）如图所示，在直角坐标系中，△A′B′C′是由△ABC绕点P旋转一定的角度而得，其中A（1，4），B（0，2），C（3，0），则旋转中心点P的坐标是　（5，0）　． 5-1图5-2图 例题5-2（2021·育才·期中）在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（　B　） A．点A B．点B C．点C D．点D 例题6-1（2021·一中·期中）已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．求∠APB的度数． 【解答】解：把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△BCQ，连接PQ， ∵∠PBQ＝60°，BP＝BQ，∴△BPQ是等边三角形，∴PQ＝PB＝4， 而PC＝5，CQ＝4，在△PQC中，PQ2+QC2＝PC2， ∴△PQC是直角三角形，∴∠BQC＝60°+90°＝150°，∴∠APB＝150°． 例题6-2（2021·五中·期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC