2.2.2 向量的减法-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

2．2　向量的减法　　　　　► 对应学生用书P39 [课程标准]　借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算法则，理解其几何意义． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、向量的减法 向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b). 求两个向量差的运算叫做向量的减法． 二、向量减法的几何意义 作法一：已知非零向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，如图所示，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 作法二：(相反向量法)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝－b，连接AB.由向量减法的定义知a－b＝a＋(－b)＝＋＝，在四边形OCAB中，OB 瘙綉CA，所以OCAB是平行四边形，所以＝＝a－b. 记一记：1.向量减法的实质是向量加法的逆运算，向量减法的几何意义可以用口诀“共起点，尾相连，指被减”来记忆． 2．以向量＝a，＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后应用还是非常广泛的，应该理解并会应用． 3．||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|的理解： (1)当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立． (2)当a，b不共线时，作＝a，＝b，则a＋b＝，如图(1)所示，根据三角形的性质，“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.同理可证||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|. (3)当a，b非零且共线时，①当向量a与b同向时，作法同上，如图(2)所示，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.②当向量a，b反向时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图(3)所示，此时|a＋b|＝|a|－|b|. 综上所述，得不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 注意每个等号取得的条件：|a＋b|＝|a|＋|b|或||a|－|b||＝|a－b|成立的条件是a与b同向共线；|a＋b|＝||a|－|b||以及|a－b|＝|a|＋|b|成立的条件是a与b反向共线． 【基点小试】 1．设b是a的相反向量，则下列说法错误的是(　　) A．a与b的长度必相等 B．a∥b C．a与b一定不相等 D．a是b的相反向量 解析：选C.根据相反向量的定义可知，C错误，因为0与0互为相反向量，但0与0相等． 2．如图，＋－等于(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B.法一　＋－＝－＋＝＋＝. 法二　＋－＝(＋)－＝－＝. 3．在△ABC中，若＝a，＝b，则等于(　　 ) A．a B．a＋b C．b－a D．a－b 解析：选D.＝－＝a－b. 4．在△ABC中，D为BC的中点，设＝c，＝b，＝a，＝d，则d－a＝___________. 解析：d－a＝d＋(－a)＝＋＝＝c. 答案：c 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　求作两向量的差向量 例1.如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 解：法一(几何意义法)　如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 法二(定义法)　如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝－c，连接OC，则＝a＋b－c. [总结] 　求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可 以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． 【练一练】 1．如图，已知向量a，b，c，求作a－b－c. 解：如图，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b，连接CB，得向量，再以C为起点作向量，使＝c.连接DB，得向量，则向量即为所求作的向量a－b－c. 题型二　向量的减法运算 例2.化简：(1)(－)－(－)； (2)(＋＋)－(－－). 解：(1)(－)－(－)＝－＝. (2)(＋＋)－(－－) ＝＋－＋(＋) ＝＋－＋ ＝－＋ ＝＋＋ ＝＋ ＝0. 例3.如图所示： (1)用a，b表示； (2)用b，c表示. 解：∵＝a，＝b，＝c. (1)＝－＝－－＝－a－b. (2)＝－＝－(＋)＝－b－c. [总结] 　1.向量减法运算的常用方法 2．向量加、减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和． (2)起点相同且为差． 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用． 【练一练】 2．化简：(1)＋－＝________； (2)＋(＋)