1.2 任意角-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

§2　任意角 　　 现实生活中随处可见超出0°~360°范围的角。例如,体操中有“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”这样的动作名称,这里不仅有超出0°~360°范围的角,而且旋转的方向也不相同。因此,要准确地描述这些现象,不仅要知道旋转的度数,还要知道旋转的方向,这就需要对角的概念进行推广。 1.了解任意角的概念,区分正角、负角与零角。 2.理解并掌握终边相同的角的概念,能写出终边相同的角所组成的集合。 3.了解象限角的概念。 1.任意角 (1)角的概念推广。 如图,平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB,形成角α。其中点O是角α的顶点,射线OA是角α的始边,射线OB是角α的终边。 (2)角的分类。 为了表示不同旋转方向所形成的角,联想到用正负数表示具有相反意义的量的方法,我们作出如下规定: ①按逆时针方向旋转形成的角叫作正角(如图①)。 ②按顺时针方向旋转形成的角叫作负角(如图②)。 ③如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个零角(如图③)。这样,零角的始边与终边重合,如果α是零角,那么α=0°。这样就把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角。角的正负规定只是一种习惯,如同正负数的规定一样。 ①　②　③ 2.象限角的概念 将角放在一个平面直角坐标系中,角的顶点在坐标原点,始边在x轴的非负半轴。以角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的位置对角分类:角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,这个角就不属于任何象限。 3.终边相同的角 一般地,给定一个角α,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和。 微思考 终边相同角相等吗?相等的角终边相同吗? 提示:当角的始边相同时,若角相等,则终边相同,但若角终边相同,则角不一定相等。 　 类型一　任意角的概念 　　【例1】　(1)(多选)下列说法中,正确的是 (　　) A.锐角是第一象限的角 B.第二象限的角为钝角 C.小于90°的角一定为锐角 D.角α与-α的终边关于x轴对称 解析　第二象限的角不一定是钝角,如460°的角是第二象限的角,但不是钝角,故B的说法是错误的;小于90°的角不一定为锐角,比如负角,故C的说法是错误的。 答案　AD (2)如图,射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处,再按顺时针方向旋转820°至OC处,则β=　　　　。  解析　∠AOC=60°+(-820°)=-760°,β=-760°+720°=-40°。 答案　-40° 　　判断角的概念问题的关键与技巧:(1)正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念。(2)判断一种说法正确需要证明,而判断一种说法错误只要举出反例即可 【变式训练】　(1)每周一的早晨,我们都会在学校的操场上举行升旗仪式,一般需要10分钟。这10分钟的时间,钟表的分针走过的角度是 (　　) A.30° B.-30° C.60° D.-60° 解析　利用定义,分针是顺时针走的,形成的角度是负角,又周角为360°,所以有×2=60°,即分针走过的角度是-60°。故选D。 答案　D (2)图中从OA旋转到OB,OB1,OB2时所成的角度分别是　　　　,　　　　,　　　　。  ①　② 解析　题图①中的角是正角,α=390°。题图②中的角,一个是负角、一个是正角,β=-150°,γ=60°。 答案　390°　-150°　60° 类型二　终边相同的角的表示 　　命题方向1:终边在某条射线上的角的表示 　　【例2】　写出与75°角终边相同的角的集合,并求在360°~1 080°范围内与75°角终边相同的角。 解　与75°角终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+75°,k∈Z}。当360°≤β<1 080°时,即360°≤k·360°+75°<1 080°,解得≤k<2。又k∈Z,所以k=1或k=2。当k=1时,β=435°;当k=2时,β=795°。综上所述,与75°角终边相同且在360°~1 080°范围内的角为435°角和795°角。 　　求与已知角α终边相同的角时,要先将这样的角表示成k·360°+α(k∈Z)的形式,然后采用赋值法求解或解不等式,确定k的值,求出满足条件的角 【变式训练】　与角10 030°终边相同的角中,最大的负角是　　　　,最小的正角是　　　　。  解析　10 030°=28×360°-50°=27×360°+310°。 答案　-50°　310° 　　命题方向2:终边在某条直线上的角的表示 　　【例3】　 如图所示:终边落在直线y=x上的角的集合为　　　　。  解析　终边落在射线y=x(x≥0)上的角