6.1 平面向量的概念-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

第六章 平面向量及其应用 ▶导语:向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景。向量既是代数研究对象,也是几何研究对象,是沟通几何与代数的桥梁,是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础,在解决实际问题中发挥重要作用。本章的学习,可以帮助我们理解平面向量的几何意义和代数意义;掌握平面向量的概念、运算、向量基本定理以及向量的应用;用向量语言、向量方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题。 要点精准概括 9个重要概念:向量,零向量,单位向量,共线向量(平行向量),相等向量,相反向量,向量的长度(模),向量的夹角,投影向量 4个重要定理:向量共线定理,平面向量基本定理,余弦定理,正弦定理 4种重要运算:向量的加法,向量的减法,向量的数乘,向量的数量积(内积) 2种重要法则:三角形法则,平行四边形法则 2种重要应用:向量在物理中的应用,向量在几何中的应用 4种关键能力:抽象概括能力,运算求解能力,直观想象能力,数学建模能力 6.1　平面向量的概念 　　在一次军事演习中,某导弹部队接到射击某目标的命令。要使导弹击中目标, 不仅需要知道目标、目标与导弹发射地点间的距离,还需要知道导弹发射的方位角。可用本节所要学的平面向量来表示。 1.通过对力、速度、位移等物理量的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义。 2.理解平面向量的几何表示和基本要素。 1.向量的定义及表示 (1)定义:既有大小又有方向的量叫做向量。 (2)表示: ①有向线段:具有方向的线段。它包含三个要素:起点、方向、长度。 ②向量的表示: 2.向量的有关概念 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量,记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量。向量a与b平行,记作a∥b。规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a 相等向量 长度相等且方向相同的向量;向量a与b相等,记作a=b 微提醒 (1)零向量与实数零是两个不同类型的量,零向量的模为0,方向是任意的,而不是没有方向,它是一个特殊的向量,而实数0表示的仅仅是数量,与方向无关。(2)平行向量与共线向量是同一概念的不同名称,根据定义可知,平行(共线)向量所在的直线可以平行,也可以重合。(3)共线向量所在的直线可以平行,与平面几何中的“共线”含义不同。 微思考 1.向量与数量有什么区别? 提示:数量是一个代数量,只有大小没有方向,其大小可以用正数、负数、零来表示,可以比较大小,如长度、质量、面积、体积等;向量既有大小又有方向,因为方向不能比较大小,所以向量不能比较大小。 2.向量就是有向线段,这种说法对吗? 提示:不对。从定义上看,向量有大小和方向两个要素,而有向线段有起点、方向和长度三个要素,因此向量与有向线段是两个不同的概念。向量可以平行移动,而有向线段不行。有向线段是表示向量的方法。 类型一 向量的概念 　　【例1】　(1)下列说法正确的是(D) A.身高是一个向量 B.∠AOB的两条边都是向量 C.温度含零上和零下温度,所以温度是向量 D.物理学中的摩擦力、重力都是向量 解析　只有D项物理学中的摩擦力、重力既有大小又有方向,是向量,故ABC错误,D正确。 (2)判断下列说法是否正确。 ①有向线段与表示同一向量; ②若a是单位向量,b也是单位向量,则a与b的方向相同或相反; ③若向量是单位向量,则也是单位向量; ④以直角坐标平面上的定点A为起点,所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆。 解　有向线段与的方向相反,不表示同一向量,因此说法①错误;由单位向量的定义知,凡长度为1个单位长度的向量均称为单位向量,但是对方向没有任何要求,因此说法②错误;因为||=||,所以当是单位向量时,也是单位向量,因此说法③正确;由于向量||=1,所以点P是以点A为圆心的单位圆上的一点,因此说法④正确。 (1)判断一个量是否为向量的两个关键条件:①有大小;②有方向。两个条件缺一不可。(2)理解零向量和单位向量应注意的问题:①零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等;②单位向量不一定相等,易忽略向量的方向。 提醒:两个单位向量的模相等,但这两个单位向量不一定相等。 【变式训练】　(多选)下列结论中正确的是(BC) A.若a,b都是单位向量,则a=b B.物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量 C.方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量 D.直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 解析　对于A,单位向量的方向不一定相同,故A错误;对于B,物理学中的作用力与反作用力大小相等,方向相反,是一对共线向量,故B正确;对于C,如图所示,方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量在一条直线上,是共线向量,故