3.3.1抛物线及其标准方程学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3．3.1　抛物线及其标准方程 [课标解读]　1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题． 教材要点 要点一　抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的____________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的____________，直线l叫做抛物线的____________． 状元随笔　注意定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． 要点二　抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) ________ ________ y2＝－2px(p>0) ________ ________ x2＝2py(p>0) ________ ________ x2＝－2py(p>0) ________ ________ 状元随笔　焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，通常又可以写成y＝ax2，这与以前所学习的二次函数的解析式一致，但需要注意由方程y＝ax2求焦点坐标和准线方程时，必须先将抛物线的方程化成标准形式． 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．(　　) (2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．(　　) (3)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式．(　　) (4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的．(　　) 2．下列关于抛物线y＝x2的图象描述正确的是(　　) A．开口向上，焦点为(0，) B．开口向右，焦点为(，0) C．开口向上，焦点为(0，) D．开口向右，焦点为(，0) 3．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，则p＝(　　) A．1　　　　B．2 C．2 D．4 4．若点(－1，2)在抛物线x＝ay2上，则该抛物线的准线方程为(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝－2 D．x＝2 5．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点坐标是(0，－3)，则该抛物线的标准方程为________． 题型 1　求抛物线的标准方程 例1　(1)已知抛物线y2＝2px上的点M(2，y0)到该抛物线焦点的距离为3，则抛物线的方程是(　　) A．y2＝2xB．y2＝4x C．y2＝－2x D．y2＝－4x (2)顶点在原点，且过点(－4，4)的抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝－4x B．x2＝4y C．y2＝－4x或x2＝4y D．y2＝4x或x2＝－4y (3)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线标准方程为________． 方法归纳 求抛物线标准方程的2种常用方法 巩固训练1　(1)顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是(　　) A．x2＝±3y B．y2＝±6x C．x2＝±12y D．x2＝±6y (2)顶点在原点，焦点在坐标轴上，以直线y＝－1为准线的抛物线方程是________． 题型 2　抛物线定义的应用 例2　(1)若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程； (2)如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标． 方法归纳 抛物线定义的两种应用 巩固训练2　(1)已知M(x0，y0)是拋物线C：y2＝2px(p>0)上一点，F是C的焦点，y0＝|MF|＝6，则p＝(　　) A．2 B．3 C．6 D．9 (2)若点P是抛物线x2＝8y上的动点，则点P到点A(4，0)的距离与到直线y＝－2的距离之和的最小值是________． 题型 3　抛物线的实际应用 例3　某市为庆祝建党100周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个隧道，隧道横断面由一段抛物线A1OA及一个矩形A1C1CA的三边组成，尺寸如图(单位：m)． (1)以隧道横断面抛物线的顶点O为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，求该段抛物线A1OA所在抛物线的方程； (2)若车队空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，箱宽3 m，车与集装箱总高4.5 m，此车能否安全通过隧道？请说明理由． 方法归纳 利用抛物线有关知识解决实际问题的一般步骤 巩固训练3　抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射加热的一种装置．当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线