3.2.2第1课时双曲线的简单几何性质（1）学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第1课时　双曲线的简单几何性质(1) [课标解读]　1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程． 教材要点 要点一　双曲线的几何性质 标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 性 质 图形 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 ________或________， y∈R ________或________， x∈R 对称性 对称轴：________；对称中心：________ 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：________；虚轴：线段B1B2，长：________；半实轴长：________，半虚轴长：________ 离心率 e＝∈________ 渐近线 y＝±x y＝±x 状元随笔　(1)双曲线的范围说明双曲线是非封闭曲线，而椭圆则是封闭曲线． (2)由于＝＝＝，因此e越大，渐近线的斜率的绝对值就越大，双曲线的开口就越大． (3)双曲线的渐近线决定了双曲线的形状．由双曲线的对称性可知，当双曲线的两支向外无限延伸时，双曲线与两条渐近线无限接近，但永远不会相交． 要点二　等轴双曲线 ________________的双曲线，它的渐近线方程是________，离心率为________． 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．(　　) (2)以y＝±2x为渐近线的双曲线有2条．(　　) (3)方程＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.(　　) (4)离心率e越大，双曲线＝1的渐近线的斜率绝对值越大．(　　) 2．双曲线－x2＝1的实轴长为(　　) A．2 B．4 C． D． 3．实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是(　　) A．x2－＝1 B．y2－＝1 C．＝1或＝1 D．x2－＝1或y2－＝1 4．双曲线－y2＝1的渐近线方程是(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x 5．双曲线9y2－16x2＝144的离心率e＝________． 题型 1　由双曲线的方程研究双曲线的性质 例1　求双曲线4x2－9y2＝－4的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． 方法归纳 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 巩固训练1　(1)若实数k满足0<k<9，则曲线＝1与曲线＝1的(　　) A．离心率相等 B．虚半轴长相等 C．实半轴长相等 D．焦距相等 (2)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)，离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为________． 题型 2　由双曲线的几何性质求其标准方程 例2　(1)已知双曲线的焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为2∶3，且经过点P(，2)，求双曲线方程； (2)求与双曲线＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线的标准方程． (3)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦距为10，求双曲线方程． 方法归纳 用待定系数法求双曲线标准方程的4种方法 巩固训练2　(1)已知双曲线C过点(1，)且渐近线为y＝±x，则双曲线C的方程是(　　) A．3x2－y2＝1 B．x2－3y2＝1 C．y2－3x2＝1 D．3y2－x2＝1 (2)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，且离心率为e＝，则双曲线的标准方程为________． 题型 3　求双曲线的离心率 例3　(1)已知点A(－4，0)到双曲线C：＝1(a>0，b>0)渐近线的距离为，则C的离心率为(　　) A． B． C． D．2 (2)已知F1，F2是双曲线C：＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线C的离心率为(　　) A．4＋2 B．－1 C．D．＋1 方法归纳 求双曲线离心率的2种常用方法 巩固训练3　(1)双曲线＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，则离心率为(　　) A． B． C．2 D．4 (2)过双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交曲线C于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝45°，则双曲线的离心率为(　　) A． B．－1 C． D．＋1 易错辨析　忽略对焦点所在轴的讨论致误 例4　已知双曲线的渐近线方程是y＝±x，焦距为2，求双曲线的标准方程． 解析：当双曲线的焦点在x轴上时，由解得所以所求双曲线的标准方程为＝1. 当双曲线的焦点在y轴上时，