3.1.1椭圆及其标准方程学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.1　椭圆及其标准方程 [课标解读]　1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程.2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题． 教材要点 要点一　椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的________等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的________，焦距的________称为半焦距． 用集合语言描述椭圆的定义：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a>|F1F2|}． 状元随笔　(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在． 要点二　椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0) 图形 焦点 坐标 ________________ __________________ a，b，c 的关系 ________________ 状元随笔　椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大．因此由椭圆的标准方程判断椭圆的焦点位置时，要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”． 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.(　　) (2)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　) (3)方程＝1(a>0，b>0)表示的曲线是椭圆．(　　) (4)设F1(－4，0)，F2(4，0)为定点，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是椭圆．(　　) 2．设P是椭圆＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　) A．4　　　B．5 C．8　　　D．10 3．椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(　　) A．(0，±) B．(±，0) C．(0，±) D．(±，0) 4．方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则(　　) A．m>n>0 B．n>m>0 C．mn>0 D．mn<0 5．已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是________． 题型 1　求椭圆的标准方程 例1　求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点(－)； (3)经过点P()，Q(0，－)． 方法归纳 用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤 巩固训练1　(1)已知椭圆的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，且经过P(，－)，则椭圆的标准方程为________． (2)与椭圆＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆的标准方程为________． 题型 2　椭圆定义及其应用 例2　(1)已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　) A．2 B．6 C．4 D．12 (2)已知点P是椭圆＝1上的一点，F1，F2分别是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积． 方法归纳 椭圆定义的应用技巧 巩固训练2　设F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，求△F1PF2的面积． 题型 3　与椭圆有关的轨迹问题 例3　(1)已知P是椭圆＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为________． (2)一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程． 方法归纳 求轨迹方程的常用方法 巩固训练3　已知点M在椭圆＝1上，MP′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P′，且M为线段PP′的中点，求点P的轨迹方程． 易错辨析　忽略椭圆焦点位置的讨论致错 例4　已知椭圆的标准方程为＝1(m>0)，并且焦距为6，则实数m的值为________． 解析：∵2c＝6，∴c＝3. 当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝＝16，又m>0，故m＝4.当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25.由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m>0，故m＝. 综上可知，实数m