1.2空间向量基本定理学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.2　空间向量基本定理 [课标解读]　1.了解空间向量的基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解． 教材要点 要点一　空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在有序实数组(x，y，z)，使得p＝____________. 其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 状元随笔　由于可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是． 一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． 要点二　单位正交基底 空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}，对空间中的任意a，均可以分解成三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 基础自测 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示.(　　) (2)若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．(　　) (3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3.(　　) (4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．(　　) 2．在长方体ABCD ­ A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是(　　) A． ， 3．已知{a，b，c}能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间基底的是(　　) A．a＋b，b，c B．a，a－b，c C．a－c，b－c，a－b D．a，b，a＋b＋c 4．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有(　　) A．a与b共线 B．a与b同向 C．a与b反向 D．a与b共面 5．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，若λe1＋μe2＋νe3＝0，则λ2＋μ2＋ν2＝________． 题型 1　基底的判断 例1　已知{i，j，k}是空间的一个基底，且＝i＋2j－k，＝－3i＋j＋2k，＝i＋j－k，试判断{}能否作为空间的一个基底． 方法归纳 判断空间向量基底的方法 巩固训练1　(多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组，其中可以作为空间一个基底的向量组是(　　) A．{a，b，x} B．{x，y，z} C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c} 题型 2　用基底表示向量 例2　如图，在三棱柱ABC ­ A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量. 方法归纳 用基底表示向量时，若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求． 巩固训练2　在平行六面体ABCD ­ A1B1C1D1中，若＝a，＝＝c.用基底{a，b，c}表示向量. 题型 3　空间向量基本定理的应用 例3　如图，已知在直三棱柱ABC ­ A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点． (1)求证：CE⊥A′D； (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值． 方法归纳 应用空间向量基本定理解决问题的一般步骤 巩固训练3　如图，正方体ABCD ­ A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别为C′D′，A′D′的中点．求证：EF∥AC. 易错辨析　对基底理解不清致误 例4　在平行六面体ABCD ­ A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若＝＝b，＝c，试用基底{a，b，c}表示向量． 解析：如图，连接A1M，A1C1，则＝＝)＝)＝)＝－a－b＋c. 易错警示 易错原因 纠错心得 本题易错的地方是向量分解的不彻底，可能会得到如下错解：＝＝)＝c＋－a－b， 事实上，仍需用基底表示． 基底可以表示空间内任一向量，用基底表示向量时，最后结果应含基向量． 1．2　空间向量基本定理 新知初探·课前预习 要点 xa＋yb＋zc [基础自测] 1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．解析：由空间向量基本定理可知C正确． 答案：C 3．解析：由图形结合分析a－c，b－c，a－b，三个向量共面，不构成基底． 答案：C 4．解析：由定理可知只有不共线的两向量才可以做基底， 向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线． 答案：A 5．解析：∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3为不共面向量． 又∵