9.1.2 三角形的内角和与外角和 第1课时 课件 2023—2024学年华东师大版数学七年级下册

第九章 多边形 9.1 三角形 9.1.2 三角形的内角和与外角和 第1课时 1 一、学习目标 1.能利用平行线的性质证明三角形内角和定理，并能推出直角三角形的两锐角互余；(重点) 3.能利用三角形的内角和定理解决一些简单问题； 二、新课导入 回顾： A B C 内角 1. 三角形内角的定义： 在一个三角形中，相邻两边组成的角叫做三角形的内角. 2. 三角形的内角和： 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°. 思考：你能通过科学的方法验证三角形的内角和等于180°吗？ 三、概念剖析 （一）三角形的内角和 试一试：请同学们拿出准备好的三角形纸板，将它的内角剪下拼合在一起； 看看有什么发现. 通过拼接我们能发现三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 三、概念剖析 三角形有无数个，我们不可能用上述方法进行一一验证. 发现：上面拼接过程中出现了一条过三角形 顶点的直线(上图红线)； 这条直线与三角形底边平行. 问题1：这条直线与三角形底边有什么位置关系？ 思考：那有没有更加合理的方法证明呢？ 三、概念剖析 启发：通过添加与底边边平行的辅助线 l ，利用平行线的性质和平角的定义即可证明 “三角形内角和等于180°”. l A B C 三、概念剖析 问题2：已知：△ABC ，求证：∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°. C A B 证明：如图过 A 作 EF ∥ BC ； 则有：∠C = ∠1，∠B = ∠2； (两直线平行，内错角相等) 又因为 ∠1 + ∠2 + ∠BAC = 180°， 所以 ∠C + ∠B + ∠BAC = 180°. F E 1 2 结论：任意三角形的内角和为 180°. 注意：关键思想是转化思想！ 三、概念剖析 归纳总结： （1）三角形内角和定理：三角形的内角和为180°； （2）在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线； 注：在平面几何里，辅助线通常画成虚线. C A B F E 1 2 辅助线 例 1：一个三角形三个内角度数的比是 3：5：4 ，那么这个三角形是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪种？ 典型例题 分析：三角形内角和等于180°，已知三个内角比例关系可列方程求解. 解：依题意，设三角形的三个内角分别为：3x，5x，4x； ∴ 3x + 5x + 4x = 180°，解得 x = 15°； ∴ 这个三角形三个角分别是：45°、75°、60°； ∴ 这个三角形是锐角三角形． 【当堂检测】 1. 填空. （1）在△ABC中，∠A = 35°，∠B = 40 °，则 △ABC 是 三角形； （2）在△ABC中，∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3，则 △ABC 是 三角形. 分析：根据三角形内角和定理解答即可； 钝角 直角 三、概念剖析 （二）直角三角形的性质 问题1：下图是是我们常用的直角三角尺，请计算它们的两个锐角之和. 30°+ 60°= 90° 45°+ 45°= 90° 思考：是不是所有的直角三角形的两个锐角都满足上面关系呢？ 三、概念剖析 问题2：如图，在直角△ABC中， ∠C = 90°，你能求出∠A，∠B 的度数吗？为什么？你能求出 ∠A + ∠B 的度数吗? A C B 解：由三角形内角和定理得：∠A + ∠B + ∠C = 180°； ∵ ∠C = 90°，∴ ∠A + ∠B = 180°– 90°= 90°. 分析：题目中只给出∠C的度数，所以我们无法直接求得 ∠A、∠B 的度数. 但根据三角形内角和定理，我们可以求出∠A +∠B 的度数. 思考：通过以上两个问题，你能得出怎样的结论？ 三、概念剖析 应用格式：在Rt△ABC 中， ∵　∠C = 90°， ∴　∠A + ∠B = 90°．　 归纳总结： （1）直角三角形的两个锐角互余； （2）直角三角形可以用符号“ Rt △ ”表示； 如：直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ ABC． A C B 例 2：在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的4倍，求这个直角三角形各个角的度数． 典型例题 分析：根据三角形的内角和定理列方程求解即可. 解：设一个锐角为 x 度，则另一个锐角为 4x 度； 那么根据三角形内角和定理：三角形内角之和为180°； 所以 x + 4x + 90°= 180°； 解得 x = 18°，则 4x = 72°； 答：三个角分别为 18°，72°，90°． 2. 如图，∠C = ∠D = 90°