第1章 平行线 专题1.4 平行线中常见的辅助线（2大专题培优）培优提分攻略 2023—-2024学年浙教版数学七年级下册

专题1.4 平行线中常见的辅助线（2大专题培优） 在解决与平行线有关的问题时,当无法直接得到角之间的数量关系或两条线之间的位置关系时,往往需要借助辅助线来帮助解答. 培优专题01 连接两点或延长线段 在平行线问题中，连结两个拐点或延长过拐点的线段是常用的辅助线作法.熟练掌握平行线的性质，正确找出关键信息,作出辅助线是解题关键, 【例1】如图，已知，和的平分线相交于，，则的度数为（ ） A．100° B．130° C．140° D．160° 【思路点拨】 【分析】连接BD，因为AB∥CD，所以∠ABD＋∠CDB＝180°；又由三角形内角和为180°，所以∠ABE＋∠E＋∠CDE＝180°＋180°＝360°，所以∠ABE＋∠CDE＝360°−100°＝260°；又因为BF、DF平分∠ABE和∠CDE，所以∠FBE＋∠FDE＝130°，又因为四边形的内角和为360°，进而可得答案． 【详解】连接BD， ∵AB∥CD， ∴∠ABD＋∠CDB＝180°， ∴∠ABE＋∠E＋∠CDE＝180°＋180°＝360°， ∴∠ABE＋∠CDE＝360°−100°＝260°， 又∵BF、DF平分∠ABE和∠CDE， ∴∠FBE＋∠FDE＝130°， ∴∠BFD＝360°−100°−130°＝130°， 故选B． 【点睛】此题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．还考查了三角形内角和定理与四边形的内角和定理．解题的关键是作出BD这条辅助线． 四边形内角和为360°、三角形内角和180°，通过辅助线构造四边形和三角形计算角度大小。 【练习1-1】如图，已知点D为内一点，，，交AB于点H，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【练习1-2】如图，直线，，，则（    ）    A． B． C． D． 【练习1-3】如图，在中，，，，，连接BC，CD，则的度数是 。 培优专题02 过拐点作平行线 平行线中遇见拐点，通常过拐点作已知直线的平行线进行解题 【例2】如图，已知ABCD，FE⊥AB于点E，点G在直线CD上，且位于直线EF的右侧． （1）若∠EFG＝120°，则∠FGC的度数是 ； （2）若∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝50°，则∠EFG的度数是 ． 【思路点拨】 【分析】（1）过点F作FM∥AB，根据平行线的性质求解即可； （2）过点F作FM∥AB，过点H作HN∥AB，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：（1）过点F作FM∥AB， ∵FE⊥AB，FM∥AB， ∴FE⊥FM， ∴∠EFM=90°， ∵∠EFG=120°， ∴∠MFG=∠EFG∠EFM=30°， ∵FM∥AB，AB∥CD， ∴FM∥CD， ∴∠FGC=∠MFG=30°， 故答案为：30°； （2）过点F作FM∥AB，过点H作HN∥AB， ∴∠AEH=∠EHN=20°， ∵∠EHG=50°， ∴∠NHG=∠EHG-∠EHN=30°， ∵HN∥AB，AB∥CD， ∴HN∥CD， ∴∠CGH=∠NHG=30°， ∵∠FGH=20°， ∴∠FGC=∠CGH+∠FGN=50°， 根据（1）知，∠EFM=90°，∠FGC=∠MFG， ∴∠MFG=50°， ∴∠EFG=∠EFM+∠MFG=140°， 故答案为：140°． 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． 考查平行线的题中存在拐点时，常过拐点作平行线，通过角之间的关系解决问题。 【练习2-1】如图，，则满足的数量关系为（  ）    A． B． C． D． 【练习2-2】如图为一盏可折叠台灯及其平面示意图，其中支架与底座垂直，支架，为固定支撑杆，当灯体与底座平行时，，，则的度数为 ． 【练习2-3】如图，平行线分别交射线于点，交射线于点，点在射线上，且不与点、或重合．若，则 ． 【练习2-4】如图，，，则、、之间满足的数量关系为 ．    培优训练 1．如图，平分，交于，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．阅读下面材料： 小亮同学遇到这样一个问题： 已知：如图甲，ABCD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED． 求证：∠BED＝∠B+∠D． （1）小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整． 证明：过点E作EFAB， 则有∠BEF＝ ． ∵ABCD， ∴ ， ∴∠FED＝ ． ∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D． （2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙， 已知：直线ab，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E． ①如图1，当点B在点A的左侧时，若∠AB