6.2.3向量的数乘运算（3大知识点+5大题型+分层练习）【名校生】2023-2024学年高一下数学知识讲与练（2019人教A版·必修二）

6.2.3 向量的数乘运算 知识点1：向量的数乘运算 2 01向量数乘的有关计算 4 知识点2：向量的线性运算 4 02平面向量的混合运算 5 知识点3：共线向量定理 5 03向量线性运算的几何应用 6 04三角形的心的向量表示 7 05根据向量关系判断三角形的心 8 【基础练·强化巩固】 8 【拓展练·培优拔高】 11 课堂目标 关键词 1.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及运算规则，理解其几何意义，（重点、难点） 2.理解两个平面向量共线的含义 3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义，（重点、难点） ①平面向量的数乘运算 ②平面向量的线性运算 知识点1：向量的数乘运算 1. 向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘记作，它的长度与方向规定如下: （1）||=||.|| （2） 当>0时，的方向与的方向相同； 当<0时，的方向与的方向相反； 当=0时，= （结果是零向量，不是实数零） 特别提示： （1）实数与向量可以相乘，但不能相加减.如:2+，1-无意义 （2）当=0时，=；当=时，= 2.数乘向量的代数意义和几何意义 (1)代数角度: ①λ是实数，是向量，它们的积仍是向量; ②=的条件是λ=0或=. (2)几何角度(向量数乘的几何意义): ①当||>1时，表示向量的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的||倍; ②当||<1时，表示向量的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的||. 【点拨】概念理解 对于任意非零向量，当入时，表示方向上的单位向量。 2. 向量数乘运算的运算律 (1) 设λ，μ为实数，则有结合律:λ(μ)=(λμ). 第一分配律:(λ+μ)=λ+μ 第二分配律:λ()= λ+λ (2)向量数乘运算律的几何意义 以 λ>0，μ>0为例，解释如下: 结合律的几何意义是将表示向量的有向线段先伸长或压缩至原来的μ倍再伸长或压缩至其λ倍，与将表示向量的有向线段伸长或压缩至原来的倍所得的结果相同. 第一分配律的几何意义是将表示向量的有向线段伸长或压缩至原来的(λ+μ)倍，与将表示向量的有向线段先伸长或压缩至原来的λ倍后，再与将表示向量的有向线段伸长或压缩至原来的μ倍相加，所得到的结果相同. 第二分配律的几何意义是将表示向量、的有向线段先相加，再伸长或压缩至原来的λ倍，与将表示向量的有向线段都伸长或压缩至原来的λ倍后再相加，所得的结果相同. 特别提示：向量数乘运算的方法 向量的数乘运算类似于“多项式”的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式'指向量，实数看作是向量的系数 01向量数乘的有关计算 【典例1】已知，与的方向相反，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列计算正确的个数是（　　） ①；②；③. A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-2】已知向量，，中任意两个都不共线，并且与共线，与共线，那么等于（　　） A． B． C． D． 知识点2：向量的线性运算 1. 线性运算的定义 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量。 对于任意向量、以及任意实数λ，和恒有 2. 线性运算的几何意义(拓展) 我们以 λ>0，>0，>0为例，研究它的几何意义如下: 将表示向量的有向线段伸长或压缩至原来的倍，将表示向量的有向线段伸长或压缩至原来的倍，然后将表示这两个新向量的有向线段相加或相减，再伸长或压缩至其λ倍，与先将表示向量a的有向线段伸长或压缩至原来的倍，将表示向量的有向线段伸长或压缩至原来的倍，再将表示这两个向量的有向线段相加或相减，所得的结果是相同的. 02平面向量的混合运算 【典例2】（1）已知向量，，计算：． （2）若向量，满足，，、为已知向量，求向量，． 知识点3：共线向量定理 1. 向量共线向量的探究 （1）如果，那么与有怎样的位置关系? ①当λ>0时，与的方向相同;当λ<0时，与的方向相反 ②当λ=0时， （2）若，是否存在实数λ，使得? ①当，时，存在唯--个实数λ，使得. ②当，时，存在唯--个实数λ，使得 ③当，时，不存在这样的实数λ，使得. ④当，时，λ取任意实数，都使得. 2. 向量共线定理的内容 向量()与共线的充要条件是:存在唯一一个实数，使. 【点拨】定理理解 （1）根据这一定理，设非零向量位于直线l上，那么对于直线l上的任意一个向量，都存在唯一的一个实数入，使，也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. （2）定理本身包含了两个方面： ①判定定理:若存在一个实数λ，使()，则a与b共线; ②性质定理:若与共