第03讲 平面向量基本定理及平面向量的坐标表示和运算（精讲）-2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结 第03讲 平面向量基本定理及平面向量的坐标表示和运算（精讲） ①平面向量基本定理及其应用 ②平面向量的坐标表示及运算（加、减、数乘和共线） ③平面向量数量积的坐标表示（模长、夹角、垂直、投影向量） 一、平面向量基本定理和性质 （1）共线向量定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． （2）三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点． 若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得存在唯一的实数，使得 存在唯一的实数，使得存在，使得． （3）中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 二、平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 三、平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， 【常用结论】 ①减法公式：，常用于向量式的化简． ②、、三点共线，这是直线的向量式方程． 四、数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 (当且仅当时等号成立) 题型一：平面向量基本定理及其应用 解题策略 平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决． (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便． (3)若直接利用基底表示向量比较困难,可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式,然后利用已知条件及相关结论,从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式),再根据待定系数法确定系数,建立方程或方程组,解方程或方程组即得. 【例1】（单选题）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算求解. 【详解】解：， ， ， ， 故选：C 【例2】（单选题）如图，正方形中，、分别是、的中点，若，则（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量基本定理选择和作为一组基底，表示出，根据列出方程组即可求解. 【详解】由已知可得 , 由图可知,所以，解得, 所以，故选：. 一、单选题 1．（2024·全国·高一假期作业）设是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（2023下·浙江温州·高一校联考期中）若为的边BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024上·辽宁大连·高一统考期末）在平行四边形中，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024上·北京房山·高一统考期末）如图，在中，点，满足，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023下·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（    ）    A． B． C． D． 6．（2024·全国·高一假期作业）已知平行四边形中，，若，则（    ） A． B． C．2 D． 二、多选题 7．（2024·全国·高一假期作业）已知向量，不共线，则下列各组向量中，能作平面向量的一组基底的有（    ） A． B． C． D． 8．（2024·全国·高一假期作业）如图，在四边形中，，点满足，是的中点.设，，则下列等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 三、填空题 9．（2023下·湖南常德·高一校考期中）如图，已知中，为的中点，，交于点，设，．    （1）用表示向量 （2）用表示向量 10．（2024上·北京昌平·高一统考期末）在中，点D，E满足，.若，则 . 11．（2024·全国·高一假期作业）在平行四边形中，如图，