2024届高三数学寒假专项训练 数列

2024届高三数学寒假专题复习——数列 一．与等差、等比有关的问题 1．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q＝ ． 2．已知a，b，a＋b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0＜logm(ab)＜1，则m的取值范围是_________． 3．设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，Sn－an＋1＝0(n∈N*)，则{an}的通项公式为 ． 4．已知a1＝1，a2＝，an＋2＝an＋1－an (n∈N*)，则{an}的通项公式为 ． 5．设等比数列{an}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，则数列{lgan}的前____项和最大． (lg2≈0.3，lg3≈0.4)． 6．设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项．若bn＝(＋)(n∈N*)，则b1＋b2＋b3＋…＋bn＝______． 二．数列中的新情境问题 7. 在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数、公式和定理，如：欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：φ(1)＝1；φ(3)＝2（与3互素有1，2）；φ(9)＝6（与9互素有1，2，4，5，7，8）. 记Sn为数列{n·φ(3n)}的前n项和，则S10＝（ ） A．×310＋ B．×310＋ C．×311＋ D．×311＋ 8. 如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，···，a12. 设1≤i＜j＜k≤12. 若k－j＝3且j－i＝4，则ai，aj，ak为原位大三和弦；若k－j＝4且j－i＝3，则ai，aj，ak为原位小三和弦. 用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ） A．5 B．8 C．10 D．15 9. 在数列{an}中，若an＋1－a1a2a3···an＝d(n∈N*)，则称数列{an}为“泛等差数列”，常数d 称 为“泛差”． 已知数列{an}是一个“泛等差数列”，数列{bn}满足a12＋a22＋···＋an2＝a1a2a3···an－bn． （1）若数列{an}的“泛差”d＝1，且a1，a2，a3成等差数列，求a1； （2）若数列{an}的“泛差”d＝－1，且a1＝，求数列{bn}的通项bn． 10. 在平面直角坐标系中，第一象限的动点P到两坐标轴的距离之积为1，记其轨迹为曲线C．若B1，B2，…，Bn顺次为曲线C上的点，而A1，A2，…，An顺次为x轴上的点，且△OB1A1，△A1B2A2，…，△An-1BnAn均为等腰直角三角形，其中B1，B2，…，Bn均为直角项点．设An的坐标为(xn，0)，(其中n∈N*)． (1)求数列{xn}的通项公式； (2)设Sn为数列{}的前n项和，试比较loga(Sn＋1)与loga(n＋1)的大小，其中a＞0， 且a≠1． 3． 数列中的创新问题 11. 数列{an}中，若存在常数M，n∈N*，均有|an|≤M，称数列{an}是有界数列； 把Ln＝|ai＋1－ai|(n∈N*)叫数列{an}的前n项邻差和，数列{Ln}叫数列{an}的邻差和数列． （1）若数列{an}满足，任意n∈N*，均有|an＋3|＋|an－1|≤6恒成立，证明：{an}是有界数列； (2)试判断公比为q的正项等比数列{an}的邻差和数列{Ln}是否为有界数列，证明你的结论； (3)已知数列{an}､{bn}的邻差和{Ln}与{L'n}均为有界数列，证明：数列{anbn}的邻差和数列{L''n}也是有界数列． 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届高三数学寒假专题复习——数列 一. 与等差、等比有关的问题 1．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q＝ ． －2 2．已知a，b，a＋b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0＜logm(ab)＜1，则m的取值范围是_________． (8， ＋∞) 3．设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，Sn－an＋1＝0(n∈N*)，则{an}的通项公式为 ．an＝ 4．已知a1＝1，a2＝，an＋2＝an＋1－an (n∈N*)，则{an}的通项公式为 ． 因bn＋1＝an＋2－an＋1＝an＋