第05讲 7.3.2离散型随机变量的方差-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）

第05讲 7.3.2 离散型随机变量的方差 课程标准 学习目标 ①通过具体实例，理解离散型随机变量分布列的方差。 ②能解决与离散型随机变量相关的数学问题与实际问题中与方差的求解问题。 ③能解决一些稳定性的简单问题与决策性问题。 通过本节课的学习,要求掌握离散型随机变量的方差、标准差的求解，能解决与之相关的简单问题，有关决策性问题的处理意见与建议。 知识点1：离散型随机变量的方差 （1）离散型随机变量的方差的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布列为： … … … … 则称 为随机变量的方差，有时也记为. 称为随机变量的标准差. （2）离散型随机变量的方差的深层理解 ①离散型随机变量的方差是个数值，是随机变量的一个重要特征数. 描述了()相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均值，刻画了随机变量的取值与其均值的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定性和波动、集中与离散程度，越大，表明平均偏离程度越大，的取值越分散；反之，越小，的取值越集中在附近. ②标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方. ③均值与方差的关系 在实际问题中仅靠均值还不能全面地说明随机变量的特征，还必须研究随机变量的集中与离散程度，这就需要求出方差. ④方差公式的变形： ⑤方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定非负. （3）两点分布的方差公式 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么:. 1 0 【即学即练1】（2024·全国·高二假期作业）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，，∴， ∵，， 二次函数在区间上单调递减， ∴，，且. 故选：D （4）方差的性质 若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. 【即学即练2】（2024·全国·高二假期作业）若随机变量满足，则（    ） A．0.8 B．1.6 C．3.2 D．0.2 【答案】C 【详解】因为，所以. 故选：C 知识点2：样本方差与离散型随机变量方差的比较 （1）样本方差 样本数据；；；；记 均值：，其中. 方差： （2）离散型随机变量方差 离散型随机变量的分布列 … … … … 均值 方差： 【即学即练3】（2024·全国·高三专题练习）甲、乙两种零件某次性能测评的分值，的分布如下，则性能更稳定的零件是 ． 8 9 10 P 0.3 0.2 0.5 8 9 10 P 0.2 0.4 0.4 【答案】乙 【详解】由题意知：， ， 所以， ， 因为，所以乙更稳定． 故答案为:乙． 知识点3：求离散型随机变量的方差步骤 (1)理解离散型随机变量的意义，写出所有可能的取值. (2)判断离散型随机变量是否服从特殊分布（如两点分布等).若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布，则继续下面步骤. (3)求出离散型随机变量取每个值的概率. (4)写出离散型随机变量的分布列. (5)利用均值的定义求. (6)利用求方差. 其中求均值的关键是写出离散型随机变量的分布列，前提是准确列出所有可能的取值，并真正理解取值的意义. 题型01 求离散型随机变量的方差、标准差 【典例1】（2024·全国·高二假期作业）甲乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求随机变量的概率分布、数学期望和方差． 【典例2】（2024下·全国·高二随堂练习）袋中有形状、大小完全相同的3个球，编号分别为1，2，3.用表示取出的2个球中的最大号码，有放回地从袋中取两次，每次取1个球 (1)写出的分布列； (2)求的均值与方差. 【典例3】（2024·全国·高三专题练习）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立. (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用表示乙学校的总得分，求的分布列与期望. (3)设用表示甲学校的总得分，比较和的大小（直接写出结果）. 【变式1】（2024·全国·高二假期作业）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮；第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，．在前3次投篮中，乙投篮的次数为X，求X的概率分布、均值及标准差． 【变式2】（2024·全国·高三专题练习）小王去自动取款机取