第04讲 7.3.1离散型随机变量的均值-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）

第04讲 7.3.1 离散型随机变量的均值 课程标准 学习目标 ①通过具体实例，理解离散型随机变量分布列的均值。 ②能解决与离散型随机变量相关的数学问题与实际问题中的均值的求解问题。 ③能解决一些与平均水平有关的简单问题与决策性问题。 通过本节课的学习,要求掌握离散型随机变量的均值，能解决与之相关的简单问题，有关决策性问题的处理意见与建议.会判断平均水平 知识点01：离散型随机变量的均值 （1）离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布为： … … … … 则称为随机变量的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation),数学期望简称期望. 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平. 【即学即练1】（2024·全国·高三专题练习）已知离散型随机变量的分布列如下表： 1 3 5 0.3 0.4 则其数学期望（    ） A．1 B．0.3 C．2.3 D．3.2 【答案】D 【详解】分布列中出现的所有的概率之和等于1．，， 随机变量的数学期望． 故选：D. （2）离散型随机变量的均值的深层理解 ①离散型随机变量的均值（数学期望）是个数值，是随机变量的一个重要特征数，反映的是离散型随机变量取值的平均水平.即若随机试验进行了次，根据的分布列，在次试验中，有次出现了,有次出现了,…,有次出现了，则次试验中，出现的平均值为，即. ②随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位. ③是一个实数，由的分布列唯一确定，即作为随机变量，是可变的，可取不同值，而是不变的，它描述取值的平均状态. （3）两点分布的均值公式 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么: 1 0 【即学即练2】（2024·全国·高二假期作业）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为随机变量X的分布列服从两点分布， 所以， 则，解得或， 又因， 所以，则， 所以. 故选：C. （4）均值的性质 ①若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. ②若与相互独立，则. 知识点02：样本均值与离散型随机变量均值的比较 （1）样本均值 样本数据；；；；记 均值：，其中. （2）离散型随机变量均值 离散型随机变量的分布列 … … … … 均值 知识点03：求离散型随机变量的均值步骤 (1)理解离散型随机变量的意义，写出所有可能的取值. (2)判断离散型随机变量是否服从特殊分布（如两点分布等).若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布，则继续下面步骤. (3)求出离散型随机变量取每个值的概率. (4)写出离散型随机变量的分布列. (5)利用均值的定义求. 其中求均值的关键是写出离散型随机变量的分布列，前提是准确列出所有可能的取值，并真正理解取值的意义. 题型01 两点分布的均值 【典例1】（2023下·山西吕梁·高二山西省交城中学校统考期中）已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【典例2】（2023下·浙江嘉兴·高二校考期中）已知随机变量X的取值为0，1，若，则X的均值为 . 【变式1】（2023·全国·高三专题练习）设随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【变式2】（2023下·山西朔州·高二校联考阶段练习）已知随机变量X服从两点分布，，则 ， . 题型02 离散型随机变量均值公式及性质 【典例1】（2024·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·全国·高二假期作业）设的分布列如图，又，则 . 1 2 3 4 P a 【典例3】（2024·全国·高三专题练习）随机变量的分布列如下列表格所示，其中为的数学期望，则 . 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 0.1 【变式1】（2024·全国·高三专题练习）随机变量X的分布列如表，则的值为（    ） X 1 2 3 P 0.2 A 0.4 A．4.4 B．7.4 C．21.2 D．22.2 【变式2】（2024·全国·高三专题练习）已知离散型随机变量X的分布列如表：若离散型随机变量，则