第4章 数列 章末综合提升-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

章末综合提升 素养一　逻辑推理 本章中，逻辑推理核心素养主要体现在等差(比)数列的判断与证明及数列不等式的证明等问题中． 体现一　等差、等比数列的判断与证明 1．(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列； ③a2＝3a1. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 证明：　①③⇒②. 已知{an}是等差数列，a2＝3a1. 设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1， 所以Sn＝na1＋d＝n2a1. 因为数列{an}的各项均为正数，所以＝n， 所以－＝(n＋1) －n＝(常数)， 所以数列{}是等差数列． ①②⇒③. 已知{an}是等差数列，{}是等差数列． 设数列{an}的公差为d， 则Sn＝na1＋d＝n2d＋n. 因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1. ②③⇒①. 已知数列{}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1. 设数列{}的公差为d，d＞0，则－＝－＝d，得a1＝d2，所以＝＋(n－1)d＝nd，所以Sn＝n2d2， 所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)是关于n的一次函数，且a1＝d2符合上式，所以数列{an}是等差数列． 学生用书第43页 素养二　数学运算 　　数学运算是解决数学问题的基本手段，能让学生形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神．本章中，数学运算核心素养主要体现在数列中基本量的计算，求通项公式及数列求和等问题中． 体现二　等差与等比数列的基本运算 2．在等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn. 解析：　(1)设等比数列{an}的公比为q， 由已知得16＝2q3，解得q＝2， 所以an＝2×2n－1＝2n，n∈N*. (2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32. 设等差数列{bn}的公差为d， 则有 解得 所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，n∈N*. 所以数列{bn}的前n项和 Sn＝＝6n2－22n，n∈N*. 体现三　数列通项公式的求法 3．(1)数列{an}中，a1＝，前n项和Sn＝n2an，则an＝(　　) A． B． C． D． (2)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－3Sn－1＋2＝0(n≥2)，a1＝2，则an＝________． 解析：　(1)因为Sn＝n2an，所以Sn－1＝(n－1)2an－1(n≥2)，两式相减得：an＝n2an－(n－1)2an－1，所以(n2－1)an＝(n－1)2an－1， 即(n＋1)an＝(n－1)an－1，所以＝， 所以＝··…·＝···…·＝，所以an＝a1＝.当n＝1时，上式也成立．故an＝.故选B. (2)因为Sn－3Sn－1＋2＝0(n≥2)，所以Sn＋1－3Sn＋2＝0，两式相减得an＋1－3an＝0，即an＋1＝3an，又a1＝2，a1＋a2－3a1＋2＝0，所以a2＝2，所以a2≠3a1，所以an＝ 答案：　(1)B　(2) 体现四　数列求和 4．(2021·浙江卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且4Sn＋1＝3Sn－9(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}满足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，记{bn}的前n项和为Tn.若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围． 解析：　(1)因为4Sn＋1＝3Sn－9， 所以当n≥2时，4Sn＝3Sn－1－9， 两式相减可得4an＋1＝3an，即＝. 当n＝1时，4S2＝4＝－－9， 解得a2＝－，所以＝. 所以数列{an}是首项为－，公比为的等比数列， 所以an＝－×＝－. (2)因为3bn＋(n－4)an＝0， 所以bn＝(n－4)×. 所以Tn＝－3×－2×－1×＋0×＋…＋(n－4)×，① 且Tn＝－3×－2×－1×＋0×＋…＋(n－5)×＋(n－4)×，② ①－②得Tn＝－3×＋＋＋…＋－(n－4)× ＝－＋－(n－4)× ＝－n×， 所以Tn＝－4n×. 因为Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立， 所以－4n×≤λ(n－4)×恒成立， 即－3n≤λ(n－4)恒成立， 当n＜4时，λ≤＝－3－，此时λ≤1； 当n＝4时，－12≤0恒成立； 当n＞4时，λ≥＝－3－，此时λ≥－3. 所以－3≤λ≤1. 素养三　数