第4章 习题课 数列求和(二)-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

习题课　数列求和(二) [学习目标]　1.熟练掌握等差和等比数列前n项和的结构特点以及各个符号的意义．　2.掌握错位相减和裂项相消求和的一般过程和思路． 应用一　错位相减法求和 (2020·全国Ⅰ卷)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项． (1)求{an}的公比； (2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和． 解析：　(1)设{an}的公比为q(q≠1)， 由题意得2a1＝a2＋a3, 即2a1＝a1q＋a1q2. 所以q2＋q－2＝0, 解得q＝1(舍去)或q＝－2. 故{an}的公比为－2. (2)记Sn为{nan}的前n项和． 由(1)及题意可得，an＝(－2)n－1. 所以Sn＝1＋2×(－2)＋…＋n×(－2)n－1， －2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)×(－2)n－1＋n×(－2)n， 可得3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n×(－2)n＝－n×(－2)n＝－(－2)n. 所以Sn＝－. [变式探究]　(变条件)在本例(2)中，若an＝，求数列{nan}的前n项和Sn. 解析：　根据题意得nan＝， Sn＝＋＋＋…＋，① Sn＝＋＋＋…＋，② 作差得Sn＝＋＋＋…＋－， Sn＝2－(n＋2) . 方法技巧 错位相减法求和的适用情况和注意点 　　一般地，若数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列且公比为q(q≠1)，求{anbn}的前n项和时，常用“乘公比，错位减”的方法求和，即错位相减法．在写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出Sn－qSn的表达式． 　　在运用错位相减法求数列前n项和时要注意四点： (1)乘数(式)的选择； (2)对q的讨论； (3)两式相减后各项间呈现的规律； (4)可构成等比数列的项数． 学生用书第38页 即时练1.已知各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列． (1)求{an}的通项公式； (2)记bn＝，{bn}的前n项和为Tn，求Tn. 解析：　(1)设各项均为正数的等差数列{an}的公差为d，则d≥0.因为 S3＝12，即a1＋a2＋a3＝12，所以3a2＝12，所以a2＝4.又2a1，a2，a3＋1成等比数列，所以a＝2a1·(a3＋1)，即42＝2(4－d)·(4＋d＋1)，解得d＝3或d＝－4(舍去)，所以a1＝a2－d＝1，故an＝3n－2. (2)bn＝＝＝(3n－2)×， 所以Tn＝1×＋4×＋7×＋…＋(3n－2)×①. Tn＝1×＋4×＋7×＋…＋(3n－5)×＋(3n－2)×②. ①－②得，Tn＝＋3×＋3×＋3×＋…＋3×－(3n－2)×＝＋3×－(3n－2)×＝－×－(3n－2)×， 所以Tn＝－×－×＝－×. 应用二　裂项相消法求和 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－1，数列{bn}是等差数列，且b1＝a1，b6＝a5. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)若cn＝，记数列{cn}的前n项和为Tn，证明：3Tn＜1. 解析：　(1)由Sn＝2an－1， 可得n＝1时，a1＝2a1－1，解得a1＝1， n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，又Sn＝2an－1， 两式相减可得an＝Sn－Sn－1＝2an－1－2an－1＋1，即有an＝2an－1， 数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an＝2n－1. 设等差数列{bn}的公差为d，且b1＝a1＝1，b6＝a5＝16，可得d＝＝3，所以bn＝1＋3(n－1)＝3n－2. (2)证明：cn＝＝＝， 所以Tn＝ ＝＜，则3Tn＜1. 方法技巧 　　裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是找到式子的结构特点．几种常见的裂项技巧如下： (1)＝； (2)＝(－); (3)＝； (4)＝. 此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误． 即时练2.已知各项均为正数的等差数列{an}满足a1＝1，a＝a＋2(an＋1＋an)． (1)求{an}的通项公式； (2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn. 解析：　(1)由各项均为正数的等差数列{an}满足a1＝1，a＝a＋2(an＋1＋an)，整理得(an＋1＋an)(an＋1－an)＝2(an＋1＋an)，因为an＋1＋an≠0，所以an＋1－an＝2，故数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n－1. (2)由(1)可得bn＝＝＝，所以Sn＝×(－1＋－＋…＋－)＝(－1)． 1．已知an＝，则a1＋a2＋a3＋…＋a80等于(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 B　[因为an