第4章 习题课 数列求和(一)-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

习题课　数列求和(一) [学习目标]　1.熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式．　2.掌握分组转化求和、倒序相加法求和、并项求和等数列求和的方法． 应用一　分组转化求和 已知等差数列{an}的前四项和为10，且a2，a3，a7成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝an＋2n，求数列的前n项和Sn. 解析：　(1)设等差数列{an}的公差为d， 由题意，得 解得或 所以an＝或an＝－2＋3(n－1)＝3n－5. (2)当an＝时，bn＝＋2n， 此时Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝n＋＝2n＋1＋n－2； 当an＝3n－5时，bn＝(3n－5)＋2n， 此时Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝·n＋＝2n＋1＋n2－n－2. 方法技巧 分组转化法求和的常见类型 即时练1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项都为正数，且满足a1＝b1＝2，a3＝b1＋b2，S3＝b3＋4. (1)求{an}，{bn}的通项公式； 学生用书第36页 (2)记cn＝(k∈N*)，求数列{cn}的前21项的和． 解析：　(1)设等差数列{an}的公差为d，正项等比数列{bn}的公比为q(q＞0)，依题意，解得d＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n，数列{bn}的通项公式为bn＝2n. (2)由(1)知，a2k－1＝4k－2，数列{a2k－1}是等差数列，首项为2，公差为4， b2k＝22k＝4k，数列{b2k}是等比数列，首项为4，公比为4，而cn＝(k∈N*)，则数列{cn}的前21项的和T21＝(a1＋a3＋…＋a21)＋(b2＋b4＋…＋b20)＝11×2＋11××4＋＝，所以数列{cn}的前21项的和为. 应用二　倒序相加求和 已知数列{an}的通项公式为an＝n－2(n∈N*)，设f(x)＝x＋log2，则数列{f(an)}的各项之和为(　　) A．36 B．33 C．30 D．27 D　[由f(x)＝x＋log2，知＞0，解得－2＜x＜8.所以－2＜an＜8，又因为an＝n－2，所以满足f(an)的an所有的取值为－1，0，1，2，…，7，即a1，a2，…，a9. 因为f(6－x)＝6－x＋log2， 所以f(x)＋f(6－x)＝6. 所以数列{f(an)}的各项之和S＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝f(－1)＋f(0)＋…＋f(7)． 因为S＝f(7)＋f(6)＋…＋f(－1)， 所以2S＝[f(－1)＋f(7)]＋[f(0)＋f(6)]＋…＋[f(7)＋f(－1)]＝6×9＝54. 所以S＝27.故选D.] 方法技巧 倒序相加法求和适合的题型 　　一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n项和公式的方法，倒序相加求和． 即时练2.在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可以求得sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________． 解析：　令S＝sin21°＋sin22°＋…＋sin289°，则S＝sin289°＋sin288°＋…＋sin21°， 两式相加可得2S＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin289°＋sin21°)＝89， 故S＝44.5，即sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝44.5. 答案：　44.5 应用三　并项求和 已知数列an＝(－1)nn，求数列{an}的前n项和Sn. 解析：　法一：若n是偶数，则Sn＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋[－(n－1)＋n]＝. 若n是奇数，则Sn＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋(－n)＝－n＝－. 综上所述，Sn＝n∈N*. 法二：可采用分组求和(略)． [变式探究]　(变条件)若an＝(－1)nn2，求数列{an}的前n项和Sn. 解析：　若n是偶数，Sn＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋[－(n－1)2＋n2] ＝3＋7＋11＋…＋2n－1，共有项， 故Sn＝×3＋×4＝＋. 若n是奇数，Sn＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋(－n2) ＝3＋7＋11＋…＋(－n2)，其中有前项是等差数列， 故有Sn＝×3＋×4－n2＝ －. 综上所述，Sn＝n∈N*. 方法技巧 并项转化法求和的解题策略 1．一般地，当数列中的各项正负交替，且各项的绝对值成等差数列时，可以采用并项转化法求和． 2．在利用并项转化法求和时，因为数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行分类讨论，但最终的结果却往往可以用分段形式来表示． 即时练3.已知数列－1，4，－7，10，…，(－1)n·(3n－2)，