第4章 培优微课 １ 构造法求数列的通项公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

类型一　形如an＋1＝pan＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)的递推关系求通项公式 解决此类问题可用待定系数法求得通项公式，步骤如下： 第一步：假设递推公式为an＋1＋t＝p(an＋t)； 第二步：由待定系数法，解得t＝； 第三步：写出数列的通项公式； 第四步：写出数列{an}的通项公式． 已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4.求数列{an}的通项公式． 解析：　因为a1＝－2，所以a1＋4＝2. 因为an＋1＝2an＋4，所以an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)， 所以＝2， 所以{an＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列． 所以an＋4＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－4. 类型二　形如an＝pan－1＋pn(p≠1)的递推关系求通项公式 解决此类问题的一般步骤： 第一步：等式两边同除以pn，不管这一项是pn－1或pn＋1，都同除以pn，使数列的下标和p的指数对应起来； 第二步：写出数列的通项公式； 第三步：写出数列{an}的通项公式． 已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n(n≥2)，且a1＝1，求数列{an}的通项公式． 解析：　因为an＝2an－1＋2n，等式两边同时除以2n，得＝＋1，即－＝1， 所以是以为首项，以1为公差的等差数列， 即＝＋(n－1)×1＝n－， 所以an＝×2n. 学生用书第35页 类型三　形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求通项公式 解决此类问题的一般步骤类似于形如an＋1＝pan＋q求通项公式的步骤，要注意数列的下标与q的指数的对应关系． 已知数列{an}中，a1＝6，an＋1＝2an＋3n＋1，求an. 解析：　令an＋1－A·3n＋1＝2(an－A·3n)， 则an＋1＝2an＋·3n＋1， 由已知，＝1，得A＝3， 所以an＋1－3×3n＋1＝2(an－3×3n)， 即an＋1－3n＋2＝2(an－3n＋1)， 又a1－32＝6－9＝－3≠0， 所以{an－3n＋1}是首项为－3，公比为2的等比数列， 于是an－3n＋1＝－3×2n－1， 故an＝3n＋1－3×2n－1. 类型四　形如an＋1＝(p，q，r≠0)的递推关系求通项公式 解决此类问题往往可以通过等式两边同时取倒数变形构造出线性递推式cn＝Acn－1＋B(n≥2，A，B是常数)，进而求出原数列的通项． 在数列{bn}中，b1＝－1，bn＋1＝，n∈N*，求{bn}的通项公式． 解析：　对递推式bn＋1＝的两边同时取倒数，得＝， 即＝2·＋3，因此＋3＝2·，＋3＝2，故是以2为首项，2为公比的等比数列，于是＋3＝2·2n－1，可得bn＝，n∈N*. 学科网（北京）股份有限公司 $$