4.4 数学归纳法-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

4.4*　数学归纳法 【学习目标】　1.了解数学归纳法的原理．　2.能用数学归纳法证明一些简单的命题. 知识点　数学归纳法 1．如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？ 提示：　不能．通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法．不完全归纳法得到的结论不一定正确．例如，在我们数学上有费马猜想、哥德巴赫猜想等，他们所用的就是不完全归纳法，至于最终的结论能否成立，只能留给你们了． 2．在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？ 提示：　要保证任意相邻两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块倒下，这样的话，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能倒下．像这样以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的推理方法叫做数学归纳法．它是一种完全归纳的方法，虽有“归纳”这两个字，但其结论是正确的． 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法． [微提醒]　初始值n0选择不一定是1，要结合题意恰当的选择． 用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)． 证明：　①当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，命题成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋， 那么当n＝k＋1时， 左边＝1－＋－＋…＋－＋－ ＝＋＋…＋＋－ ＝＋＋…＋＋ ＝＋＋…＋＋. 上式表明当n＝k＋1时，命题也成立． 由①②知，命题对一切正整数均成立． 方法技巧 用数学归纳法证明等式的策略 　　应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即 1．当n＝n0时，等式的结构． 2．当n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项．这时一定要弄清三点： (1)代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项． (2)代数式相邻两项之间的变化规律． (3)代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系． 即时练1.用数学归纳法证明： ＋＋…＋＝(n∈N*)． 证明：　①当n＝1时，＝成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝， 即当n＝k＋1时等式也成立． 由①②可得对于任意的n∈N*等式都成立． 学生用书第40页 应用一　用数学归纳法证明不等式 求证：＋＋＋…＋＜1－(n≥2，n∈N*)． 证明：　①当n＝2时，左边＝＝， 右边＝1－＝， 因为＜，所以不等式成立． ②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立， 即＋＋＋…＋＜1－， 则当n＝k＋1时， ＋＋＋…＋＋＜1－＋＝1－＝1－＜1－＝1－. 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 根据①和②知，对任意n≥2的正整数，不等式均成立． 方法技巧 用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点 即时练2.求证：不等式1＋＋＋＋…＋＞(n∈N*)． 证明：　当n＝1时，1＞成立， 假设n＝k(k∈N*)时，不等式1＋＋＋＋…＋＞成立， 那么n＝k＋1时， 1＋＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞＋＋…＋. 因为＞，＞，…，＝， 所以1＋＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞＋＝， 即n＝k＋1时，该不等式也成立． 综上，不等式1＋＋＋＋…＋＞(n∈N*)成立． 应用二　归纳—猜想—证明 在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝. (1)求a1，a2，a3； (2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想． 解析：　(1)由S1＝a1＝得a＝1. 因为an＞0，所以a1＝1， 由S2＝a1＋a2＝， 得a＋2a2－1＝0，所以a2＝－1. 又由S3＝a1＋a2＋a3＝， 得a＋2a3－1＝0，所以a3＝－. (2)猜想an＝－(n∈N*)． 下面用数学归纳法证明． ①当n＝1时，a1＝1＝－猜想成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即ak＝－，则当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－，即ak＋1＝－＝－，所以a＋2ak＋1－1＝0，所以ak＋1＝－.即n＝k＋1时猜想也成立． 由①②知，an＝－(n∈N*)． 方法技巧 1.“归纳—猜想—证明”的解题步骤 学生用书第41页 2.“归纳—猜想—证明”解决的主要问题 (1)已知数列的递推公式，求通项公式或前n项和； (2)由一些恒等式，不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在； (3)给出一些简单命题(n＝1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．