4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [学习目标]　1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题．　2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 知识点　等比数列前n项和公式的性质 1．类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？ 提示：　若等比数列{an}的项数有2n项，则 其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n， 其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有＝q. 若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶． 2．你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm＋n? 提示：　思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn. 思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn＝Sn＋qnSm. 3．类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)的关系吗？ 提示：　Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下： 思路一：当q＝1时，结论显然成立； 当q≠1时，Sn＝，S2n＝，S3n＝. S2n－Sn＝－＝， S3n－S2n＝－ ＝， 而＝， Sn(S3n－S2n)＝×， 故有＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列． 思路二：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn， S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，故有＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列． 1．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： (1)在其前2n项中，＝q； (2)在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)；S奇＝a1＋qS偶． 2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． 3．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． [微提醒]　等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0. 学生用书第32页 (1)等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为(　　) A．28 B．32 C．21 D．28或－21 (2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________． 解析：　(1)因为{an}为等比数列，所以S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列， 即7，S4－7，91－S4成等比数列，所以(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.因为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)＞S2，所以S4＝28.故选A. (2)由题意，得 解得 所以q＝＝＝2. 答案：　(1)A　(2)2 [变式探究]　 1．(变条件、变设问)将本例(1)中的条件“S2＝7，S6＝91”改为“an＞0，Sn＝2，S3n＝14”，求S4n的值． 解析：　设S2n＝x，S4n＝y，则2，x－2，14－x，y－14成等比数列， 所以 所以或(舍去)，所以S4n＝30. 2．(变条件、变设问)将本例(1)中条件“S2＝7，S6＝91”改为“公比q＝2，S99＝56”，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值． 解析：　法一：因为S99＝＝56，q＝2， 所以a3＋a6＋a9＋…＋a99 ＝a3(1＋q3＋q6＋…＋q96)＝a1q2·＝32. 法二：设b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a97， b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a98， b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a99， 则b1q＝b2，b2q＝b3，且b1＋b2＋b3＝56， 所以b1(1＋q＋q2)＝56， 所以b1＝＝8， 所以b3＝b1q2＝8×22＝32， 即a3＋a6＋a9＋…＋a99＝32. 方法技巧 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 1．若等比数列{an}共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝S2n这