4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

4.3.2　等比数列的前n项和公式 第1课时　等比数列的前n项和公式 [学习目标]　1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路．　2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题． 知识点　等比数列前n项和公式 1．若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项和？ 提示：　思路一：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an， 所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1， 上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn， 发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn，即(1－q)Sn＝a1(1－qn)， 当q≠1时，有Sn＝，而当q＝1时，Sn＝na1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”． 思路二：当q≠1时，由等比数列的定义得：＝＝…＝＝q， 根据等比数列的性质，有＝＝q， ＝q⇒(1－q)Sn＝a1－anq， 所以当q≠1时，Sn＝，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列的前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用an＝a1qn－1相互转化． 思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)， 所以有Sn＝a1＋qSn－1⇒Sn＝a1＋q(Sn－an)⇒(1－q)Sn＝a1－anq， 所以当q≠1时，Sn＝或Sn＝，显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决． 2．国际象棋起源于古印度．相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．已知1 000颗麦粒的质量约为40 g，据查，2016－2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言．如果他无法实现他的诺言，你能帮他解决吗？ 提示：　S64＝1＋2＋22＋23＋…＋263＝＝264－1＝18 446 744 073 709 551 615，然而这个数字对国王来说是一个天文数字，显然国王无法实现他的诺言，国王为了使自己不失信于民，于是他向发明者说：你这个提议很好，你自己去数吧．大家知道吗，要把这些数完，如果一秒钟数一粒，大约需要5 800亿年．同学们，从这里来看学好数学是多么的重要． 学生用书第29页 等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和 公式 公式一Sn＝ 公式二Sn＝ [微提醒]　(1)等比数列前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知或是代数式时，要对公比分类讨论． 如求数列{an}的前n项和：当a＝0时，{an}不是等比数列，Sn＝0； 当a＝1时，{an}是首项a1＝1，公比q＝1的等比数列，Sn＝na1＝n； 当a≠0且a≠1时，{an}是首项a1＝a，公比q＝a的等比数列，Sn＝； 综上，Sn＝ (2)当q≠1时，若已知a1，q和n，则用Sn＝较方便，若已知a1，an及q，则用Sn＝较方便． (3)解决等比数列的问题时，a1，an，n，q，Sn五个量中，知道任意三个，由通项公式和前n项和公式，可求出另外两个． 在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，解决下列问题： (1)若an＝3×2n，求S6； (2)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n； (3)若S2＋S4＝S6，求其公比q. 解析：　(1)因为an＝3×2n＝6×2n－1，所以该等比数列的首项a1＝6，公比q＝2，于是S6＝＝378. (2)法一：由Sn＝，an＝a1qn－1以及已知条件，得 所以a1·2n＝192，所以2n＝. 于是189＝a1(2n－1)＝a1，所以a1＝3.所以2n－1＝＝32，故n＝6. 法二：由公式Sn＝及已知条件，得189＝，解得a1＝3.又由an＝a1·qn－1，得96＝3·2n－1，解得n＝6. (3)若q＝1，则S2＝2a1，S4＝4a1，S6＝6a1，显然满足S2＋S4＝S6，所以q＝1符合题意； 若q≠1，则＋＝，整理得(q2＋1)(q＋1)2(q－1)2＝0，解得q＝－1(q＝1舍去)．综上，公比q的值等于1或－1. [变式探究]　(变条件)本例(3)中，若将条件改为“数列{an}是等比数列，且S3＝3a3”，求其公比q的值． 解析：　法一：当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，符合题