4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 [学习目标]　1.构造等差数列求和模型，解决实际问题．　2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值．　3.理解并应用等差数列前n项和的性质． 知识点一　等差数列前n项和的性质 设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，你能发现Sn与S2n的关系吗？ 提示：　S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列． 1．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d. 2．数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列为等差数列，且公差为. 3．在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)． 4．若等差数列共有2n－1项，则S2n－1＝(2n－1)an；若等差数列共有2n项，则S2n＝n(an＋an＋1)． 5．与项数有关的“奇偶”性质 (1)若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝(S奇，S偶分别表示所有奇数项的和与所有偶数项的和)； (2)若等差数列的项数为2n－1，则S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)． 6．若{an}，{bn}为等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则＝，＝·. (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若－＝100，则d的值为(　　) A．1 B． C． D． (2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S2n＝6，S3n＝12，则Sn的值为(　　) A．0 B．2　 C．3 D．4 (3)已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 解析：　(1)根据Sn＝，得－＝＝＝100，则d＝1.故选A. (2)因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，故有2(6－Sn)＝Sn＋(12－6)，解得Sn＝2.故选B. (3)由题知S偶－S奇＝5d，所以d＝＝3.故选C. 答案：　(1)A　(2)B　(3)C 方法技巧 利用等差数列前n项和的性质简化计算 1．在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，这是基本解法，有时运算量较大． 2．等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用恰当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果． 3．设而不求，整体代换也是很好的解题方法． 即时练1.等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n＝_____. 解析：　因为等差数列共有2n＋1项，所以S奇－S偶＝an＋1＝，即132－120＝，解得n＝10. 答案：　10 即时练2.已知Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2 021，－＝6，则S2 023＝________． 解析：　由等差数列的性质可得数列也为等差数列．设其公差为d，则－＝6d＝6，所以d＝1.故＝＋2 022d＝－2 021＋2 022＝1，所以S2 023＝1×2 023＝2 023. 答案：　2 023 学生用书第19页 知识点二　等差数列中前n项和的最值问题 　根据上节课所学，等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？ 提示：　由Sn＝na1＋d，可知Sn＝n2＋n，当d≠0时，Sn是常数项为0的二次函数．该函数的定义域是n∈N*，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，简记为Sn＝An2＋Bn. 等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中，当a1＞0，d＜0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定； 当a1＜0，d＞0时，Sn有最小值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定． (2)Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d＞0时，Sn有最小值；当d＜0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值． [微提醒]　(1)当a1＞0，d＞0时Sn有最小值S1，当a1＜0，d＜0时Sn有最大值S1. (2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一． 数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2. (1)求{an}的通项公式； (2){an}的前多少项和最大． 解析：　(1)法一(公式法)： 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n， 又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1，满足an＝34－2n.故{an}的通项公式为an＝34－2n. 法二(结构特征法)：由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结