4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

4.2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和公式 [学习目标]　1.了解等差数列前n项和公式的推导过程．　2.掌握等差数列的前n项和公式．　3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个． 知识点　等差数列的前n项和公式 1．请同学们欣赏唐代诗人张南史的《花》并回答下面的问题： 花，花． 深浅，芬葩． 凝为雪，错为霞． 莺和蝶到，苑占宫遮． 已迷金谷路，频驻玉人车． 芳草欲陵芳树，东家半落西家． 愿得春风相伴去，一攀一折向天涯． 从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？ 提示：　诗中文字有对称性；S＝2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝2×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)，根据对称性，可先取其一半来研究．其数的个数较少，大家很容易求出答案． 2．网络时代与唐代不同的是，宝塔诗的句数不受限制，如图，从第1行到第n行一共有多少个字？ 提示：　法一：对项数分奇数、偶数讨论，认清当项数为奇数时，通过“落单”中间一项或最后一项，转化成项数为偶数来研究．通过计算发现，无论项数是奇数还是偶数，结果都是S＝，可见，结果与项数的奇偶无关． 法二：(如图)在原式的基础上，再加一遍1＋2＋3＋…＋n，即S＝1＋2＋3＋…＋n，S＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋1，避免了分类讨论，我们把这种求和的方法称为“倒序相加法”，其本质还是配对，将2n个数重新分组配对求和． 3．对于一般的等差数列{an}，设其首项为a1，公差为d.如何求其前n项和Sn? 提示：　倒序相加法 ⇒两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等． 又an＝a1＋(n－1)d，故Sn＝na1＋d. 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和 公式 Sn＝ Sn＝na1＋d [微提醒]　(1)等差数列{an}的前n项和公式的推导方法“倒序相加法”是解决数列求和问题的一种重要方法．主要适用于具有a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…特征的数列求和． (2)若已知等差数列{an}的首项a1、末项an及项数n，则用公式Sn＝来求和．这里是a1与an的等差中项，应用时要注意结合等差数列的性质． (3)公式Sn＝中涉及四个量：Sn，n，a1，an；公式Sn＝na1＋d中也涉及四个量：Sn，n，a1，d.结合等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d，对于等差数列中的五个量：Sn，n，a1，an，d，已知其中的三个量就可以求出另外的两个量． (4)由公式二知d＝0时，Sn＝na1；d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”． (5)公式里的n表示的是所求等差数列的项数． 在等差数列{an}中： (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； (2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d. 解析：　(1) 解得 所以a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16， S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85. (2)由已知得S8＝＝＝172， 解得a8＝39， 又因为a8＝4＋(8－1)d＝39， 所以d＝5. 所以a8＝39，d＝5. 学生用书第16页 方法技巧 等差数列中基本计算的两个技巧 1．利用基本量求值 2．利用等差数列的性质解题 即时练1.在等差数列{an}中： (1)a1＝1，a4＝7，求S9； (2)a3＋a15＝40，求S17； (3)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d. 解析：　(1)设等差数列{an}的公差为d， 则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7， 所以d＝2. 故S9＝9a1＋d＝9＋×2＝81. (2)S17＝＝＝＝340. (3)由题意得，Sn＝＝＝－5， 解得n＝15. 又a15＝＋(15－1)d＝－， 所以d＝－， 所以n＝15，d＝－. 应用一　利用等差数列前n项和公式判断等差数列 若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由． 解析：　当n＝1时，a1＝S1＝－1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5， 经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式， 故an＝4n－5. 数列{an}是等差数列，证明如下： 因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4， 所以数列{an}是等差数列． [变式探究]　(变条件)若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由． 解析：　因为Sn＝2n2－3n－1，