4.1 第1课时 数列的概念及通项公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

4.1　数列的概念 第1课时　数列的概念及通项公式 [学习目标]　1.理解数列的有关概念与数列的表示方法．　2.掌握数列的分类，了解数列的单调性．　3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项．　4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．　5.了解数列是一种特殊函数． 知识点一　数列的概念与分类 观察以下材料中的几列数： ①古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2 401，16 807； ②从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 023，2 023，…，2 023； ③小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7，0，2，5，7，0，2，5，…； ④－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－，，－，，…. 你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？ 提示：　共同点：都是按照确定的顺序进行排列的．不同点：从项数上来看：①②项数有限，③④项数无限；从项的变化上来看：①每一项在依次变大，②项没有发生变化，③项呈现周期性的变化，④项的大小交替变化． 1．数列的概念 (1)定义：按照确定的顺序排列的一列数称为数列． (2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． (3)记法：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}． 2．数列的分类 类别 含义 按项数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 [微提醒]　(1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，则它们是不同的数列． (2)同一个数可以在数列中重复出现． (3){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项． (多选)下列关于数列的叙述正确的是(　　) A．an＝n2，数列{an}是递增数列 B．数列1，2，3与3，2，1是同一个数列 学生用书第2页 C．an＝sin，数列{an}只有三项1，0，－1 D．an＝sin，数列{an}的前三项依次为1，0，－1 AD　[由于an＝n2满足an ＝n2＜(n＋1)2＝an＋1，故数列{an}是递增数列，选项A正确；数列1，2，3与3，2，1的顺序不同，不是同一个数列，选项B错误；由于an＝sin，数列{an}的前四项依次为1，0，－1，0，且an＋4＝sin＝sin＝sin＝an，所以数列{an }是周期数列，且是无穷数列，选项C错误，选项D正确．故选AD.] 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？ (1)1，0.84，0.842，0.843，…； (2)2，4，6，8，10，…； (3)7，7，7，7，…； (4)，，，，…； (5)10，9，8，7，6，5，4，3，2，1； (6)0，－1，2，－3，4，－5，…. 解析：　(5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是常数列；(6)是摆动数列． 方法技巧 数列及其分类的判定方法 1．判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数． 2．判断所给的数列是递增、递减、摆动还是常数列，要从项的变化趋势来分析，而有穷还是无穷数列，则看项的个数有限还是无限． 即时练1.下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是周期数列？ (1)2 017，2 018，2 019，2 020，2 021； (2)0，，，…，，…； (3)1，，，…，，…； (4)－，，－，，…； (5)1，0，－1，…，sin，…； (6)9，9，9，9，9，9. 解析：　(1)(6)是有穷数列；(2)(3)(4)(5)是无穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(6)是常数列；(5)是周期数列． 知识点二　数列的通项公式 我们发现知识点一问题导思中的①②④，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？ 提示：　对于①，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，于是an＝7n，n∈； 对于②，an＝2 023，n∈； 对于④，an＝，n∈N*. 1．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数