5.2.1 基本初等函数的导数-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

5.2.1　基本初等函数的导数 　 第 五 章 5.2　导数的运算 学习目标 1．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝ 的导数．　 2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 知识点　基本初等函数的导数公式 内 容 索 引 知识点　基本初等函数的导数公式 索引 1．回顾之前所学，你学过哪些基本初等函数？ 提示：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数． 问题导思 2．如何求常函数f(x)＝c的导数？ 我们通过同样的方法容易得到几个常见的幂函数的导数： f(x)＝x⇒f′(x)＝1＝1x1－1； f(x)＝x2⇒f′(x)＝2x＝2x2－1； f(x)＝x3⇒f′(x)＝3x2＝3x3－1； 基本初等函数的导数公式 新知形成 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝___ f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝_________ f(x)＝cos x f′(x)＝___________ f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝__________ 0 cos x －sin x axln a ex 微提醒 　　 求下列函数的导数： (2)y＝3x； y′＝3x ln 3. 例1 (4)y＝log5x； y＝sin x，y′＝cos x. y′＝0. (7)y＝ln x； (8)y＝ex. y′＝ex. 求简单函数的导函数的两种基本方法 1．用导数的定义求导，但运算比较繁杂． 2．用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． 方法技巧 即时练1.求下列函数的导数： (1)y＝x0(x≠0)； y′＝0. (3)y＝lg x； 因为y＝2cos2 －1＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x. 索引 综　合　应　用 索引 例2 应用一　利用导数公式求切线方程 1．(变条件)若本例中“曲线y＝ ”变为“y＝ln x”，如何求解？ 变式探究 因为直线y＝2x－4的斜率为k＝2， 2．(变设问)若本例条件不变，求过点P(0，1)且与曲线相切的切线方程． 又切线过点P(0，1)， 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 1．若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数． 2．如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． 方法技巧 即时练2.若直线y＝x＋b与曲线y＝ex相切于点P，求切点P的坐标及b的值． 所以e x0＝1，即x0＝0，所以点P(0，1)． 由点P(0，1)在直线y＝x＋b上可知b＝1. 设P(x0，y0)，由题意可知y′|　 ＝e ， x＝x0 x0 　　　某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少？(结果精确到0.01万元/年，参考数据：1.15≈1.611，ln 1.1≈0.095) 由题意得p′(t)＝1.1tln 1.1， 所以p′(5)＝1.15ln 1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年)，所以第5个年头，房价上涨的速度大约是0.15万元/年． 应用二　基本初等函数导数公式的综合应用 例3 即时练3.质点的运动方程是S(t)＝sin t，求： (1)质点在t＝ 时的速度； (2)质点运动的加速度． 索引 索引 由常见函数的导数公式知D正确． √ 2．一质点的运动方程为s＝cos t，则t＝1时质点的瞬时速度为 A．2cos 1 B．－sin 1 C．sin 1 D．2sin 1 s′＝－sin t，当t＝1时，s′，所以当t＝1时质点的瞬时速度为－sin 1.故选B. √ 3．(2022·湖北十堰东风高级中学高二阶段检测)已知函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，若f′(1)＝1，则a＝ √ 4．已知曲线y＝x3在点(2，8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝______． 因为y′＝3x2，所以曲线在点(2，8)处的切线斜率k＝f′(2)＝12.所以切线方程为y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16，所以k＝12，b＝－16.所以k－b＝28. 28 5．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为______． 索引 课　时　精　练 索引 基础达标 常数函数的导数为0.故选D. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 √ 2 3 4 5 6 7 8