5.1.2 导数的概念及其几何意义-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

5.1.2　导数的概念及其几何意义 　 第 五 章 5.1　导数的概念及其意义 学习目标 1．理解导数的概念，知道函数的瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵． 2．会求函数在某点处的导数． 3．理解曲线的切线的含义，通过函数的图象直观地理解导数的几何意义，并会求曲线的切线方程． 随 堂 演 练 知识点二　导数的几何意义 综 合 应 用 知识点一　导数的概念 内 容 索 引 课 时 精 练 知识点三　导函数(导数) 知识点一　导数的概念 索引 瞬时变化率的几何意义是什么？它的数学意义又是什么？ 提示：瞬时变化率的几何意义是曲线的切线斜率．实际上，上节课我们通过研究抛物线的切线斜率就大致了解了瞬时变化率在数学中的意义． 问题导思 新知形成 可导 x＝x0 导数 f′(x0) 对导数概念的再理解 (1)函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在． (2)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关． (3)导数的实质是一个极限值． 微提醒 　　　(1)已知f(x)＝x2＋3，求f(x)在x＝1处的导数； 例1 方法技巧 即时练1.已知函数y＝x2＋ ＋5，若该函数在x＝a处的导数为0，试求a的值． 索引 知识点二　导数的几何意义 索引 导数f′(x0)的几何意义是什么？ 提示：我们知道导数f′(x0)表示函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，反映了函数y＝f(x)在x＝x0附近的变化情况，如下图． 问题导思 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的______________也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是_______相应地，切线方程为___________________． 新知形成 切线的斜率． f′(x0)． y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) 　　　已知曲线C：y＝x3. (1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程； 例2 将x＝1代入曲线C的方程得y＝1， 所以曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0. (2)求曲线C过点P(1，1)的切线方程． 设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知y′|x＝x0＝3x20，由题意可知kPQ＝y′|x＝x0， 1．(变条件)本例中条件“y＝x3”改为“y＝x2”，求曲线在x＝1处的切线方程． 变式探究 2．(变条件、变设问)求曲线y＝x2＋1过点P(1，0)的切线方程． 设切点为Q(a，a2＋1)， 所以在点Q处的切线方程为y－(a2＋1)＝2a(x－a)，(*) 把点(1，0)代入(*)式得－(a2＋1)＝2a(1－a)． 1．利用导数的几何意义求曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程的步骤 (1)求函数f(x)在x0处的导数，即切线的斜率； (2)根据直线方程的点斜式可得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．运用导数的几何意义解决切线问题时，一定要注意所求切线是在某点处的切线还是过某点的切线，若求在某点处的切线方程，该点一定在曲线上，则该点的导数值就是该点处的切线的斜率；若求过某点的切线，则先设切点坐标再转化求解． 方法技巧 即时练2.已知函数y＝x3－x的图象为曲线C. (1)求曲线C在点(1，0)处的切线方程； 所以曲线C在点(1，0)处的切线方程为y＝2x－2. (2)求曲线C过点(1，0)的切线方程． 设函数y＝x3－x图象上切点的坐标为P(x0，x30－x0)，则切线斜率为 ＝3x20－1， 所以切线方程为y－(x30－x0)＝(3x20－1)(x－x0)，由于切线经过点(1，0)， 所以0－(x30－x0)＝(3x20－1)(1－x0)，整理得2x30－3x20＋1＝0，即2(x30－1)－3(x20－1)＝0， 所以2(x0－1)(x20＋x0＋1)－3(x0＋1)(x0－1)＝0， 所以(x0－1)2(2x0＋1)＝0， 索引 知识点三　导函数(导数) 索引 如何利用f′(x0)的定义以及函数的概念给出导函数的概念？ 问题导思 新知形成 导函数 f′(x) y′ 函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)、导函数f′(x)之间的区别与联系： (1)区别：①f′(x0)是在x＝x0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量．②f′(x)是函数f(x)的导函数，是对某一区间内任意x而言的． (2)联系：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值． 微提醒 因为Δy＝f(x＋Δx)－f(x) 例3 (2)f(x)在x＝1处的导数． 方法技巧 即时练3.已知函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，