5.1.1 变化率问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

5.1.1　变化率问题 　 第 五 章 5.1　导数的概念及其意义 学习目标 1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，理解函数的平均变化率和瞬时变化率的意义，会求具体函数的平均变化率和函数在某点处的瞬时变化率． 2．了解函数的平均变化率与曲线的割线斜率之间的关系，理解曲线的切线的概念． 3．体会极限思想． 随 堂 演 练 知识点二　瞬时速度 综 合 应 用 知识点一　平均速度 内 容 索 引 课 时 精 练 知识点三　抛物线的切线的斜率 知识点一　平均速度 索引 问题导思 新知形成 某一时间段 Δt可正，可负，但不能为0. 微提醒 例1 (2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义中两个平均速度的大小，说明其几何意义中两个平均速度的大小，说明其几何意义． 方法技巧 求物体运动的平均速度的三个步骤 第一步：求时间的改变量x 2－x 1； 第二步：求位移的改变量f(x 2)－f(x 1)； 即时练1.某质点运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2的平均速度为 A．－4 B．－8 C．6 D．－6 √ 索引 知识点二　瞬时速度 索引 我们也发现了高速路上区间测速的弊端，因为如果某人发现超速了，他只需踩下刹车，让车辆低速行驶一段时间即可，你认为，我们应该如何改进高速路上的区间测速问题？ 问题导思 新知形成 (1)“Δt→0”读作Δt趋近于0，是指时间间隔越来越短，能越过任意小的时间间隔，即|Δt|要多小就有多小，其含义是可以小于任何预先给定的正数，但Δt始终不能为零．(2) Δt， Δs在变化中都趋近于0，其比值 趋近于一个确定的常数，此时该常数才称为t0时刻的瞬时速度． 微提醒 　　　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度． 所以物体在t＝1处的瞬时变化率为3. 即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. 例2 1．(变设问)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度． 变式探究 求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度． 所以物体的初速度为1 m/s. 2．(变设问)若本例条件不变，试求该物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s. 求瞬时速度的步骤 第一步：求物体运动位移与时间的关系s＝s(t)； 第二步：求时间变化量Δt，位移变化量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； 第三步：求平均速度 ； 第四步：求瞬时速度 . 方法技巧 即时练2.一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是 A．－3 B．3 C．6 D．－6 √ 索引 知识点三　抛物线的切线的斜率 索引 如图，在点P0(1，1)的附近任取一点P(x，x2)，考察抛物线f(x)＝x2的割线P0P有什么变化趋势？ 提示：当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置． 问题导思 1．切线 设P0是曲线上一定点，P是曲线上的动点，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的切线． 2．切线的斜率 设P0(x0，y0)是曲线y＝f(x)上一点，则曲线y＝f(x)在点P0(x0，y0)处的切线的 斜率为k0＝___________________． 新知形成 3．切线的斜率与割线的斜率的关系 从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0. 　　 求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1，2)处的切线方程． 所以切线的方程为y－2＝0×(x－1)，即y＝2. 例3 (变设问)本例函数不变，求与2x－y＋4＝0平行的该曲线的切线方程． 变式探究 设切点(x0，x20－2x0＋3)， 故有2x0－2＝2，解得x0＝2，所以切点为(2，3)，所求切线方程为2x－y－1＝0. 25 方法技巧 求抛物线上某点(x0，f(x0))处的割线或切线斜率的步骤 综　合　应　用 索引 即4x＋y－4＝0. 求曲线在某点处切线的斜率或方程 例4 方法技巧 求曲线在某点处的切线方程的步骤 即时练4.已知曲线方程为y＝x－ ，则该曲线在点x＝1处的切线斜率为__． 2 索引 索引 1．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是 √ √ √ 4．一个物体的