4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

第2课时　等差数列前n项和的性质 及应用 　 第 四 章 4.2.2　等差数列的前n项和公式 学习目标 1．构造等差数列求和模型，解决实际问题． 2．能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值． 3．理解并应用等差数列前n项和的性质． 课 时 精 练 知识点二　数列的通项公式 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　等差数列的概念 内 容 索 引 知识点一　等差数列的概念 索引 设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，你能发现Sn与S2n的关系吗？ 提示：S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列． 问题导思 1．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d. 新知形成 3．在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)． 4．若等差数列共有2n－1项，则S2n－1＝(2n－1)an；若等差数列共有2n项，则S2n＝n(an＋an＋1)． 5．与项数有关的“奇偶”性质 例1 √ (2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S2n＝6，S3n＝12，则Sn的值为 A．0 B．2 C．3 D．4 因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，故有2(6－Sn)＝Sn＋(12－6)，解得Sn＝2.故选B. √ (3)已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 A．5 B．4 C．3 D．2 √ 利用等差数列前n项和的性质简化计算 1．在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，这是基本解法，有时运算量较大． 2．等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用恰当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果． 3．设而不求，整体代换也是很好的解题方法． 方法技巧 即时练1.等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n＝_____. 10 2 023 索引 知识点二　数列的通项公式 索引 　根据上节课所学，等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？ 问题导思 新知形成 大 an≥0 an＋1≤0 小 an≤0 an＋1≥0 小 大 (1)当a1＞0，d＞0时Sn有最小值S1，当a1＜0，d＜0时Sn有最大值S1. (2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一． 微提醒 　　　数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2. (1)求{an}的通项公式； 例2 法一(公式法)： 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n， 又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1，满足an＝34－2n.故{an}的通项公式为an＝34－2n. 法二(结构特征法)：由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型   函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知 解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n. (2){an}的前多少项和最大． 法一(公式法)： 令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17， 故数列{an}的前17项大于或等于零，又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大． 法二(函数性质法)： 由Sn＝－n2＋33n的图象可知：当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an＜0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大． 1．(变条件、变结论)若将本例(2)条件变为“Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝25，S9＝S17”，求{an}的前多少项和最大及最大和． 法一：因为S9＝S17，a1＝25， 变式探究 解得d＝－2. 所以当n＝13时，Sn有最大值169. 法二：同法一，求出公差d＝－2. 所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27. 因为a1＝25＞0， 又因为n∈N*，所以当n＝13时，结合条件可得Sn有最大值169. 法三：因为S9＝S17，所以a10＋a11＋…＋a17＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. 因为a1＞0，所以d＜0.所以a13＞0，a14＜0. 所以当n＝13时，结合条件可得Sn有最大值169. 法四：设Sn＝An2＋Bn. 因为S9＝S17，所以92A＋9B＝172A＋17B， 又A＋B＝25，所以A＝－1，B＝26， 二次函数对称轴为n＝ ＝13，且开口方向向下，所以当n＝13时，Sn取得最大值169. 2．(变条件，变设问)若将本例条件变为“Sn为等差数列{an}的前n项和，a