4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

第1课时　等差数列的前n项和公式 　 第 四 章 4.2.2　等差数列的前n项和公式 学习目标 1．了解等差数列前n项和公式的推导过程． 2．掌握等差数列的前n项和公式． 3．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个． 随 堂 演 练 综 合 应 用 知识点　等差数列的前n项和公式 课 时 精 练 内 容 索 引 知识点　等差数列的前n项和公式 索引 1．请同学们欣赏唐代诗人张南史的《花》并回答下面的问题： 花，花． 深浅，芬葩． 凝为雪，错为霞． 莺和蝶到，苑占宫遮． 已迷金谷路，频驻玉人车． 芳草欲陵芳树，东家半落西家． 愿得春风相伴去，一攀一折向天涯． 从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？ 问题导思 提示：诗中文字有对称性；S＝2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝2×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)，根据对称性，可先取其一半来研究．其数的个数较少，大家很容易求出答案． 2．网络时代与唐代不同的是，宝塔诗的句数不受限制，如图，从第1行到第n行一共有多少个字？ 提示：法一：对项数分奇数、偶数讨论，认清当项数为奇数时，通过“落单”中间一项或最后一项，转化成项数为偶数来研究．通过计算发现，无论项数是奇数还是偶数，结果都是S＝ ，可见，结果与项数的奇偶无关． 法二：(如图)在原式的基础上，再加一遍1＋2＋3＋…＋n，即S＝1＋2＋3＋…＋n，S＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋1，避免了分类讨论，我们把这种求和的方法称为“倒序相加法”，其本质还是配对，将2n个数重新分组配对求和． 3．对于一般的等差数列{an}，设其首项为a1，公差为d.如何求其前n项和Sn? 等差数列的前n项和公式 新知形成 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和 公式 ____________ _________________ (1)等差数列{an}的前n项和公式的推导方法“倒序相加法”是解决数列求和问题的一种重要方法．主要适用于具有a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…特征的数列求和． 微提醒 (4)由公式二知d＝0时，Sn＝na1；d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”． (5)公式里的n表示的是所求等差数列的项数． 微提醒 　　　在等差数列{an}中： (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； 所以a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16， 例1 (2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d. 解得a8＝39， 又因为a8＝4＋(8－1)d＝39， 所以d＝5. 所以a8＝39，d＝5. 方法技巧 等差数列中基本计算的两个技巧 1．利用基本量求值 方法技巧 2．利用等差数列的性质解题 即时练1.在等差数列{an}中： (1)a1＝1，a4＝7，求S9； 设等差数列{an}的公差为d， 则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7， 所以d＝2. (2)a3＋a15＝40，求S17； 解得n＝15. 索引 综　合　应　用 索引 　　　若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由． 例2 应用一　利用等差数列前n项和公式判断等差数列 当n＝1时，a1＝S1＝－1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5， 经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式， 故an＝4n－5. 数列{an}是等差数列，证明如下： 因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4， 所以数列{an}是等差数列． (变条件)若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由． 变式探究 因为Sn＝2n2－3n－1，① 当n＝1时，a1＝S1＝2－3－1＝－2， ①－②得an＝Sn－Sn－1 ＝4n－5， 经检验当n＝1时，an＝4n－5不成立， 故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列． 利用等差数列前n项和公式判断等差数列的步骤 第一步：由Sn求通项an； 第二步：判断an－an－1(n≥2)是否是同一个常数． 方法技巧 即时练2.已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列． 当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n. 又a1＝1不满足an＝2n， 所以数列{an}的通项公式是 因为a2－a1＝4－1＝3≠a3－a2＝2， 所以数列{an}中每一项与前一项的差不是