第1章 导数及其应用 章末综合提升-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

章末综合提升 素养一　数学运算，数学抽象 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要表现为：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、求得运算结果等．数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要表现为：获得数学概念和规则、提出数学命题和模型、形成数学方法和思想、认识数学结构与体系．在本章主要表现在导数的几何意义、切线方程的求解等问题中． 题型一　导数几何意义的应用 设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a>0)，直线l是曲线y＝f(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10x＋y＝6平行． (1)求a的值；(2)求f(x)在x＝3处的切线方程． 解析：　(1)f′(x)＝x2＋2ax－9＝(x＋a)2－a2－9， f′(x)min＝－a2－9， 由题意知－a2－9＝－10，∴a＝1或a＝－1(舍去)． 故a＝1. (2)由(1)得a＝1， ∴f′(x)＝x2＋2x－9， 则k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10. ∴f(x)在x＝3处的切线方程为y＋10＝6(x－3)， 即6x－y－28＝0. 已知直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2，3)，求参数b. 解析：　设f(x)＝x3＋ax＋1， 由题意知f(2)＝3，则a＝－3. f(x)＝x3－3x＋1，f′(x)＝3x2－3， f′(2)＝3×22－3＝9＝k， 学生用书第36页 又点(2，3)在直线y＝9x＋b上， ∴b＝3－9×2＝－15. 利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种：一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点(x0，y0)的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，若不是切点可先设切点为Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)，求出x1，y1的值，转化为第一种类型．　　 素养二　逻辑推理，直观想象 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养，主要表现为：掌握推理基本形式和规则、发现问题和提出问题、探索和表述论证过程、理解命题体系、有逻辑地表达与交流．在本章主要表现在函数的单调性、极值、最值、零点等问题中． 题型二　函数的单调性、极值、最值、零点问题 已知函数f(x)＝ln x－(m∈R)． (1)当m＝－2时，求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若函数f(x)在区间[1，e]上取得最小值4，求m的值． 解析：　(1)当m＝－2时，f(x)＝ln x＋(x>0)， 则f′(x)＝， 当x∈(0，2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)，极小值为f(2)＝ln 2＋1，无极大值． (2)f′(x)＝， ①当m≥－1时，f′(x)≥0，f(x)在[1，e]上单调递增， f(x)min＝f(1)＝－m＝4， 解得m＝－4，不满足m≥－1，故舍去． ②当－e<m<－1时，x∈(1，－m)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， x∈(－m，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， f(x)min＝f(－m)＝ln(－m)＋1＝4， 解得m＝－e3，不满足－e<m<－1，故舍去． ③当m≤－e时，f′(x)≤0，f(x)在[1，e]上单调递减， f(x)min＝f(e)＝1－＝4， 解得m＝－3e，满足m≤－e. 综上，m＝－3e. 设函数f(x)＝x3－x2－mx. (1)若f(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，求m的取值范围； (2)若x＝－1是函数的极值点，求函数f(x)在[0，5]上的最小值． 解析：　(1)f′(x)＝x2－2x－m， 由题意可知，f′(x)＝x2－2x－m<0在(0，＋∞)上有解， 所以m>x2－2x， 则m>－1，即m的取值范围为(－1，＋∞)． (2)因为f′(－1)＝1＋2－m＝0，所以m＝3. 所以f′(x)＝x2－2x－3， 令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝3. 所以当x∈(0，3)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减； 当x∈(3，5)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增． 所以函数f(x)在[0，5]上的最小值为f(3)＝9－9－9＝－9. 学生用书第37页 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求f(x)的极值点； (2)若关于x的方程f(x)＝a有3个不同的实根，求实数a的取值范围； (3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围． 解析：　(1)f′(x)＝3(x2－2)，令f′(x)＝0， 得x1＝－，x2＝. 当x∈(－∞，－