6.3 平面向量的基本定理及坐标表示（四大重难点题型精讲）-【冲刺满分】2023-2024学年高一数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019必修第二册）

6.3 平面向量的基本定理及坐标表示 知识点一．平面向量基本定理和性质 1、共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2、平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 推论1：若，则． 推论2：若，则． 3、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 4、三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 5、中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 知识点二．平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示． 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 知识点三．平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，． ， 【解题方法总结】 （1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量． 即． （2），当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立． （3）特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立． （4）减法公式：，常用于向量式的化简． （5）、、三点共线，这是直线的向量式方程． 题型一：平面向量基本定理及应用 例1、（2021下·高一课时练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 例2、（2023下·福建福州·高一福州日升中学校考期中）（多选题）已知向量，不共线，则下列各组向量中，能作平面向量的一组基底的有（    ） A． B． C． D． 例3、（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 变式训练1．（2023下·湖南邵阳·高一统考期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 变式训练2．（2022·高一课时练习）（多选题）已知是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 变式训练3．（2024·陕西商洛·统考模拟预测）如图，在中，满足条件，若，则（    ） A．8 B．4 C．2 D． 题型二：平面向量的直角坐标运算 例4、（2023下·陕西西安·高一阶段练习）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 例5、（2023上·湖南株洲·高二校考阶段练习）（多选题）已知，，下列选项中关于，的坐标运算正确的是（    ） A． B． C．若且，则 D． 例6、（2024上·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知，则向量在向量方向上的投影向量为 ． 例7、（2023·安徽·校联考模拟预测）已知向量，，且，若，则在方向上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 变式训练4．（2023下·重庆綦江·高一校考期中）已知，则的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 变式训练5．（2024上·云南大理·高二统考期末）已知向量，则 ． 变式训练6．（2023上·陕西榆林·高三校考阶段练习）已知平面向量，则 . 变式训练7．（2022下·浙江宁波·高二校考学业考试）（多选题）