4.2.4随机变量的数字特征（2）学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

4．2.4　随机变量的数字特征(2) [课标解读]　1.通过具体实例，理解离散型随机变量分布列及其数字特征(方差).2.通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.3.通过具体实例，了解超几何分布及其方差，并能解决简单的实际问题． 【教材要点】 知识点一　离散型随机变量的方差与标准差 名称 定义 意义 方差 一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则D(X)＝________________________________________，叫做这个离散型随机变量X的方差． 离散型随机变量的方差和标准差反映了离散型随机变量取值相对于期望的____________(或说离散程度) . 标准差 D(X)的算术平方根叫做离散型随机变量X的标准差． 知识点二　服从两点分布与二项分布的随机变量的方差 (1)若X服从两点分布，则D(X)＝________； (2)若X～B(n，p)，则D(X)＝________． 知识点三　随机变量的数字特征的性质 如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量；D(Y)＝a2D(X). 【基础自测】 1．下列说法正确的有________．(填序号) ①离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值； ②离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平； ③离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的波动水平； ④离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的波动水平． 2．设一随机试验的结果只有A和且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差D(ξ)等于(　　) A．m B．2m(1－m) C．m(m－1) D．m(1－m) 3．已知X的分布列为： X －1 0 1 P 0.5 0.3 0.2 则D(X)等于(　　) A．0.7 B．0.61 C．－0.3 D．0 4．已知随机变量X，D(X)＝，则X的标准差为________. 题型1　离散型随机变量的方差的概念及应用 例1　(1)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的方差． (2)已知X的分布列如表： X －1 0 1 P a ①计算X的方差； ②若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差． 状元随笔　(1)先列出随机变量X的分布列，再用定义求出方差即可． (2)利用分布列的性质求出a值，再利用方差公式及性质求解． 方法归纳 1．定义法求离散型随机变量X的方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值； (2)求X取各个值的概率，写出分布列； (3)根据分布列，由期望的定义求出E(X)； (4)根据公式计算方差． 2．性质法求离散型随机变量X的方差 应用公式：D(aX＋b)＝a2D(X)求离散型随机变量X的方差，既避免了求随机变量Y＝aX＋b的分布列，又避免了涉及大数的计算，从而简化了计算过程． 跟踪训练1　设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数． (1)求X的分布列、均值及方差； (2)求Y的分布列、均值及方差． 题型2　两点分布与二项分布的数学方差 例2　某厂一批产品的合格率是98%. (1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差； (2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差． 状元随笔　(1)利用两点分布求解．(2)利用二项分布的数学期望、方差公式求解． 方法归纳 1．常见的两种分布的均值与方差 设p为一次试验中成功的概率，q＝1－p则 (1)两点分布E(X)＝p；D(X)＝pq (2)二项分布E(X)＝np；D(X)＝npq 熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度． 2．两点分布与二项分布辨析 (1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生． (2)不同点： ①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0，1，二项分布中随机变量的取值x＝0，1，2，…，n. ②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验． 跟踪训练2　(1)某运动员投篮命中率p＝0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为________. (2)为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，已知E(X)＝3，D(X)＝，则n＝______________，p＝________． 题型3　方差的综合应用 【思考探究】　 1．A，B两台机床同时加工