4.2.4随机变量的数字特征（1）学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

4．2.4　随机变量的数字特征(1) [课标解读]　1.通过具体实例，理解离散型随机变量分布列及其数字特征(均值).2.通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.3.通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题． 【教材要点】 知识点一　随机变量的数学期望的定义 一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则E(X)＝________________叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望). 知识点二　随机变量的数学期望的意义 刻画了离散型随机变量的____________． 知识点三　两点分布、二项分布的数学期望 名称 两点分布 二项分布 超几何分布 公式 E(X)＝____ E(X)＝____ E(X)＝________ 知识点四　随机变量的数字特征的性质 如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量；则E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 【基础自测】 1．已知离散型随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P 则X的数学期望E(X)＝________． 2．设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝________． 3．若随机变量X服从二项分布B，则E(X)的值为________． 4．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分．已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的期望是________． 题型1　离散型随机变量的数学期望的概念及应用 例1　已知随机变量X的分布列如表： X －2 －1 0 1 2 P m (1)求m的值； (2)求E(X)； (3)若Y＝2X－3，求E(Y). 状元随笔　由分布列的性质求得m，再利用均值公式求E (X)，然后利用均值的性质求解E (Y). 方法归纳 1．求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后利用均值公式求E(X). 2．对于aX＋b型的随机变量求均值的方法 (1)利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b； (2)先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解． 跟踪训练1　已知随机变量ξ的分布列为 ξ －1 0 1 P m 若η＝aξ＋3，E(η)＝，则a＝(　　) A．－1　　 B．－2 C．－3　　 D．－4 题型2　超几何分布的均值 例2　[2022·江苏无锡高二月考]设10件产品中含有3件次品，从中抽取2件进行调查，求抽得次品数的数学期望． 方法归纳 先确定分布类型，可以求出分布列后再用定义求均值，也可以直接利用超几何分布的均值公式求解． 跟踪训练2　设ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P 又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于(　　) A. B． C. D． 题型3　两点分布与二项分布的数学期望 例3　某运动员投篮命中率为p＝0.6. (1)求投篮1次时命中次数X的数学期望； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望． 状元随笔　(1)利用两点分布求解．(2)利用二项分布的数学期望公式求解． 方法归纳 1．常见的两种分布的均值 设p为一次试验中成功的概率，则 (1)两点分布E(X)＝p； (2)二项分布E(X)＝np. 熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度． 2．两点分布与二项分布辨析 (1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生． (2)不同点： ①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0，1，二项分布中随机变量的取值x＝0，1，2，…，n. ②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验． 跟踪训练3　(1)某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(　　) A．100 B．200 C．300 D．400 (2)已知某离散型随机变量X服从的分布列如下，则随机变量X的数学期望E(X)等于(　　) X 0 1 P m 2m A. B． C. D． 题型4　期望的实际应用(数学建模、数据分析、数学运算) 例4　某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如表所示： 周一 无雨 无雨 有雨 有雨 周二 无雨 有雨 无雨 有雨 收益 20万元 15万元 10万元 7.5万元 若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元．额外聘请