4.5 几种简单几何体的表面积和体积-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

4．5　几种简单几何体的表面积和体积 [课标解读]　知道棱柱、棱锥、棱台、球的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 知识点一　几种简单几何体的侧面展开图与侧面积 几何体 直观图 侧面展开图 侧面积 直棱柱 S直棱柱侧＝Ch． (其中C为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高) 正棱锥 S正棱锥侧＝Ch′． (其中C为正棱锥的底面周长，h′为侧面等腰三角形的高) 正棱台 S正棱台侧＝(C＋C′)h′．(其中C，C′为棱台两底面的周长，h′为棱台侧面的高) 学生用书第115页 [点拨]　正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间的关系 当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱； 当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥． 由此可得：S正棱柱侧＝ChS正棱台侧＝(C＋C′)h′S正棱锥侧＝Ch′(其中C′、C为底面周长，h为高，h′为斜高)． 知识点二　锥体、台体、柱体的高 定义 图示 锥体的高 锥体(棱锥、圆锥)的顶点到底面的距离 PO为棱锥P－ABCD的高 台体或柱体的高 台体(棱台、圆台)或柱体(棱柱、圆柱)的两底面之间的距离 OO′为棱台ABCD－A′B′C′D′的高 知识点三　几种简单几何体的体积 几何体 体积 棱柱 V棱柱＝Sh．(其中S为棱柱的底面积，h为棱柱的高) 棱锥 V棱锥＝Sh．(其中S为棱锥的底面积，h为棱锥的高) 棱台 V棱台＝(S＋＋S′)h．(其中S′，S分别为棱台的上、下底面积，h为棱台的高) 柱体和锥体可以看作“特殊”的台体，它们的体积公式之间的关系如下： 知识点四　球的表面积与体积 若球的半径为R，则 (1)S球＝4πR2； (2)V球＝πR3． [点拨]　由公式来看，球的表面积和体积是由半径R唯一确定，是以R为自变量的函数． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．(　　) (2)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等．(　　) (3)锥体的体积等于底面面积与高之积．(　　) (4)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．(　　) (5)球的体积之比等于半径比的平方．(　　) 答案：　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× 2．正三棱锥的所有棱长均为a，则该三棱锥的表面积为(　　) A．3a2 B．2a2 C．a2 D．4a2 C　[S＝4××a×a＝a2．] 3．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的(　　) A．2倍 B．2倍 C．倍 D．3倍 B　[设原球的半径为R，表面积扩大2倍，则半径扩大倍，体积扩大2倍．] 4．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的________倍． 解析：　设小球半径为1，则大球的表面积S大＝36π，S小＋S中＝20π，＝＝． 答案：　 学生用书第116页 已知正四棱锥的底面是边长为4的正方形，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积． 解析：　如图所示的正四棱锥PABCD，其中E为BC的中点． 由题意可知OE＝2，∠OPE＝30°， 所以PE＝＝4， 因此，正四棱锥的侧面积S侧＝×4×4×4＝32，正四棱锥的表面积S表＝S侧＋S底＝32＋4×4＝48． 求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积．另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得其表面积．　　 即时练1．已知正四棱台两底面边长分别为3和9．若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高． 解析：　由题意知，棱台的两底面面积之和为S上底＋S下底＝32＋92＝90． 设棱台的斜高为h斜，则(3＋9)×h斜×4＝90， ∴h斜＝，∴棱台的高为 ＝． 探究点二　棱柱、棱锥、棱台的体积 如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是棱A1B1，A1D1，A1A上的点，且满足A1M＝MB1，A1N＝2ND1，A1P＝3AP，试求三棱锥A1MNP的体积． 解析：　VA1MNP＝VPA1MN＝··A1M·A1N·A1P＝··a·a·a＝a3． 求几何体体积的常用方法 　　 即时练2．如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面三角形BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为(　　) A．16 B．8 C．4 D． B　[因为D为棱AA1的中点，所以BD＝DC1．由题意，得BD·DC1＝6，得BD＝2，所以BC1＝2，由进一步可得CC1＝4，BC＝2，所以三棱柱的体积为×2×2××4＝8．] 即时练3．我国