4.3.2 第3课时 直线与平面垂直的性质、距离及所成的角-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

第3课时　直线与平面垂直的性质、距离及所成的角 [课标解读]　1．归纳出直线与平面垂直的性质定理．2．理解点到平面的距离及直线到平面的距离的概念．3．理解斜线在平面内的投影及直线与平面所成角的概念． 知识点一　直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 a∥b 图形语言 作用 ①线面垂直线线平行，②作平行线 [点拨]　(1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论； (2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直)； (3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据． 知识点二　距离 1．点与平面的距离：过一点S向平面ABC作垂线，垂足为A，则称垂线段SA的长度为点S到平面ABC的距离． 2．直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线与这个平面的距离． [点拨]　由直线到平面的距离的定义知，可以转化为点到平面的距离，注意前提必须说明直线与平面平行． 学生用书第104页 知识点三　直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，则直线l叫作这个平面α的一条斜线 斜足 斜线l和平面α的交点A叫作斜足 投影 过斜线l上斜足以外的一点P向平面α作垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫作斜线l在平面α上的投影 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在该平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线和这个平面所成的角． 规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0° 取值范围 0°≤θ≤90° [点拨]　(1)斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的； (2)斜线在平面上的投影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)垂直于同一条直线的两个平面平行．(　　) (2)平面的斜线与平面所成的角的范围是0°≤θ≤90°．(　　) (3)直线上任意一点到这个平面的距离，就是这条直线到这个平面的距离．(　　) (4)如果直线l与平面α所成的角为60°，且mα，则直线l与m所成的角也是60°．(　　) 答案：　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是(　　) A．b∥α B．bα C．b⊥α D．b与α相交 C　[由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，a∥b．故选C．] 3．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，对角线A1C与平面ABCD所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． D　[如图，连接AC，由题知AA1⊥平面ABCD，且A1C∩AA1＝A1，所以∠A1CA为A1C与平面ABCD所成的角．设正方体的边长为a，则A1C＝a．在Rt△A1AC中，sin ∠A1CA＝＝．故选D．] 4．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点E是棱BB1的中点，则点B1到平面ADE的距离为________． 解析：　 由于E是BB1的中点，故点B1到平面ADE的距离等于点B到平面ADE的距离，如图，过B作BF⊥AE于点F，由于BF⊥AD，AD∩AE＝A，故BF⊥平面ADE．在直角三角形ABE中，AB＝1，BE＝，AE＝，所以·AB·BE＝·AE·BF，解得BF＝，即点B1到平面ADE的距离为． 答案：　 探究点一　 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：MN∥AD1． 证明：　因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D． 又CD⊥平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1， 所以CD⊥AD1． 因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC． 又MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1． 学生用书第105页 证明线线平行的方法 (1)利用线线平行的定义，证共面且无公共点； (2)利用三线平行公理，证两直线同时平行于第三条直线； (3)利用线面平行的性质定理，把证线线平行转化为证线面平行； (4)利用线面垂直的性质定理，把证线线平行转化为证线面垂直．　　 即时练1． 如图，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于点E，D为FG的中点，AF＝AG，EF＝EG．求证：BC∥FG． 证明：　因为AD⊥AB，AD⊥AC，AB∩AC＝A， 所以AD⊥平面ABC． 又BC平面ABC， 所以AD⊥BC． 连接DE(图略)，又AE⊥BC，AD∩AE＝A， 所以BC⊥平面ADE． 因为D