3.1 复数的概念-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

3．1　复数的概念 [课标解读]　1．通过方程的解，认识复数．2．理解复数的代数表示，理解两个复数相等的含义． 知识点一　复数的有关概念 名称 定义 表示方法 备注 复数 形如a＋bi(其中a，b∈R)的数称为复数，其中a称为复数a＋bi的实部，b称为复数a＋bi的虚部，i称为虚数单位 复数通常用字母z表示，代数形式z＝a＋bi(a，b∈R) 规定i2＝－1 复数集 全体复数所组成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫作复数集 通常用大写字母C表示 当b≠0时复数不能比较大小 [点拨]　(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i； (2)a＋bi(a，b∈R)中，虚部是i的实数系数，不含i，不能说虚部为bi，也不能说虚部系数为b； (3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是． 知识点二　复数的分类 　复数z＝a＋bi(a，b∈R) 知识点三　复数相等 　设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋dia＝c且b＝d． [点拨]　在两个复数相等的条件下，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋dia＝c且b＝d．若忽略前提条件，则结论不能成立． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　　) (2)复数z1＝3i，z2＝2i，则z1＞z2．(　　) (3)复数z＝bi(b∈R)是纯虚数．(　　) (4)实数集与复数集的交集是实数集．(　　) 答案：　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．设i为虚数单位，m∈R，“复数m(m－1)＋i是纯虚数”是“m＝1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 B　[复数m(m－1)＋i是纯虚数，则m＝0或m＝1，所以“复数m(m－1)＋i是纯虚数”不是“m＝1”的充分条件；当m＝1时，该复数为i，是纯虚数，“复数m(m－1)＋i是纯虚数”是“m＝1”的必要条件，所以“复数m(m－1)＋i是纯虚数”是“m＝1”的必要不充分条件．故选B．] 3．若z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i(m，n∈R)，且z1＝z2，则m＋n＝(　　) A．4或0 B．－4或0 C．2或0 D．－2或0 A　[由z1＝z2，得n2－3m－1＝－3且n2－m－6＝－4，解得m＝2，n＝±2，所以m＋n＝4或0，故选A．] 4．若(x－2y)i＝2x＋1＋3i，则实数x，y的值分别为________． 解析：　由已知得解得 答案：　－　－ 学生用书第65页 探究点一　复数的概念 (多选)下列命题不正确的是(　　) A．若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数 B．若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i C．若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2 D．实数集是复数集的真子集 ABC　[对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于A，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即A错误；两个虚数不能比较大小，则B错误；对于C，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0不是纯虚数，则C错误；显然D正确．故选ABC．] 与复数有关命题的判断方法 (1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答． (2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．　　 即时练1．对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法正确的是(　　) A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数 B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2 C．若b＝0，则a＋bi为实数 D．i的平方等于1 C　[对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；对于C，若b＝0，则a＋bi＝a∈R；对于D，i的平方为－1．故选C．] 探究点二　复数的分类 m∈R，复数z＝＋(m2－2m－15)i．求m取何值时， (1)z是实数；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数？ 解析：　(1)若z是实数，则 即 ∴当m＝5时，z是实数． (2)若z是虚数，则 即 ∴当m≠5且m≠－3时，z是虚数． (3)若z是纯虚数，则 即 ∴当m＝3或m＝－2时，z是纯虚数． (1)复数a＋bi(a，b∈R)是零的充要条件是a＝0且b＝0． (2)复数a＋bi(a，b∈R)为实数的充要条件是b＝0． (3)复数a＋bi(a，b∈R)为虚数的