1.6.3 解三角形应用举例-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

1．6．3　解三角形应用举例 [课标解读]　能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题． 知识点一　常见题型和常见角 1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)． (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值． 知识点二　运用解三角形解决实际问题的基本步骤 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向．(　　) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为．(　　) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　　) 答案：　(1)√　(2)×　(3)√ 2．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　 ) A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东10° D．南偏西10° B　[灯塔A、B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB＝80°， ∠CAB＝∠CBA＝50°， 则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°．] 3．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为(　　) A．a km B．a km C．a km D．2a km A　[在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，所以AB＝a．故选A．] 4．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为________m． 解析：　过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°． 于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°． 又∠BAD＝45°－30°＝15°， 故∠ABD＝15°，由正弦定理得AB＝ ＝＝500(＋)(m)． 所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin 45°＝500(＋1)(m)． 答案：　500(＋1) 学生用书第33页 探究点一　测量距离问题 如图，某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100 m的楼顶A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向，且俯角为30°的C处，10 s后测得该客车位于楼房北偏西75°方向，且俯角为45°的D处．(假设客车匀速行驶) (1)如果此高速路段限速80 km/h，试问该客车是否超速？ (2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向的E处，问此时客车距离楼房多远？ 解析：　(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝100 m，则BC＝AB tan 60°＝100 m． 在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝BD＝100 m， 在△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°， 则CD＝＝ ＝200(m)． 所以客车的速度v＝＝20 m/s＝72 km/h，所以该客车没有超速． (2)在Rt△DBC中，BD＝100 m，CD＝200 m，所以∠BCD＝30°． 又∠DBE＝15°，所以∠CBE＝105°， 所以∠CEB＝45°． 在△BCE中，由正弦定理，可知＝， 所以EB＝＝50(m)，即此时客车距离楼房50 m． 测量距离的基本类型及方案 类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达 图形 　　 方法 先测角C，AC＝b，BC＝a，再利用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB 即时练1．如图，A、B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求： (1)轮船D与观测点B的距离； (2)救援船到达D点所需要的时间． (注：sin 75°＝) 解析：　(1)由D在A的北偏东45°，在B的北偏西60°， ∴∠DAB＝45°，∠DBA＝30°， ∴∠ADB＝105°， 由正弦定理得＝， ∴＝， 又sin 75°＝，