1.6.1 余弦定理-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

1．6　解三角形 1．6．1　余弦定理 [课标解读]　1．借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理．2．能用余弦定理解决简单的实际问题． 知识点一　解三角形 1．一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫作三角形的元素． 2．从已知三角形的某些元素出发求这个三角形其他元素的过程叫作解三角形． 知识点二　余弦定理 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos_A； b2＝a2＋c2－2accos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C 变形 cos A＝；cos B＝； cos C＝ 适用条件 ①两边及其夹角(`) ②三边(三角形唯一解) ③两边及其一边的对角(可能零解、一解或两解) [点拨]　(1)适用范围：对任意的三角形，三个等式都成立； (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”； (3)简单应用：每个等式都涉及三边和一角四个元素，利用余弦定理可做到知三求一； (4)定理特例：当夹角为90°时(例如C＝90°)，则定理变为c2＝a2＋b2，这就是勾股定理．所以余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． 学生用书第26页 (5)三角形形状的判断：若两边的平方和大于第三边的平方，第三边对应的角为锐角；若两边的平方和小于第三边的平方，第三边对应的角为钝角；若两边的平方和等于第三边的平方，第三边对应的角为直角． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．(　　) (2)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．(　　) (3)在△ABC中，若a2＞b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．(　　) (4)在△ABC中，若a2＜b2＋c2，则△ABC一定为锐角三角形．(　　) 答案：　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．在△ABC中，符合余弦定理的是(　　) A．c2＝a2＋b2－2abcos C B．c2＝a2－b2－2bccos A C．b2＝a2－c2－2bccos A D．cos C＝ A　[由余弦定理及其推论知只有A正确．故选A．] 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B＝(　　) A． B． C．或 D．或 A　[由余弦定理知a2＋c2－b2＝2accos B，因为a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝，故B＝．] 4．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝________________________． 解析：　由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，所以c＝． 答案：　 探究点一　已知两边及一角解三角形 在△ABC中， (1)若a＝2，c＝＋，B＝45°，求b及A； (2)若A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c． 解析：　(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝(2)2＋(＋)2－2×(＋)×2×cos 45°＝8， 所以b＝2．由cos A＝， 得cos A＝＝． 因为0°＜A＜180°，所以A＝60°． (2)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A ＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)， 所以49＝64－2bc，即bc＝15． 由解得或 解决“已知两边及一角”解三角形问题的步骤 (1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． (2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．　　 即时练1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，c＝2，A＋C＝，则b＝(　　) A． B．6 C．7 D．8 A　[∵A＋C＝，∴B＝π－(A＋C)＝．∵a＝3，c＝2，∴由余弦定理，得b＝＝＝．] 即时练2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝3，B＝30°，则a＝(　　) A．3 B．4 C．3或6 D．4或6 C　[在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，及b＝3，c＝3，B＝30°，得32＝a2＋(3)2－2×3a×cos 30°，即a2－9a＋18＝0，所以a＝6或a＝3，经检验都满足题意．] 探究点二　已知三边解三角形 (1)△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若向量p∥q，则角C的大小是(　　) A． B． C． D． 学生用书第27页 (2)已知三角形三边之比为5∶7∶3，则最大角为(　　) A．90° B．120° C．135° D．150°