1.4.2 向量线性运算的坐标表示-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

1．4．2　向量线性运算的坐标表示 [课标解读]　会用坐标表示平面向量的加、减、数乘运算． 知识点　向量线性运算的坐标表示 1．平面向量的坐标运算 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则： (1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)． (2)a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量的和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)． (3)λa＝(λx1，λy1)，即一个实数与向量的积的坐标等于这个数乘以向量相应的坐标． 2．向量坐标与点的坐标的联系 在平面直角坐标系中，向量的坐标等于终点Q的坐标(x2，y2)减去起点P的坐标(x1，y1)，即＝(x2－x1，y2－y1)． 3．线段定比分点坐标公式 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，点P(x，y)是直线P1 P2上一点，且＝λ(λ≠－1)，则 学生用书第17页 特别地，当λ＝1时，得到线段P1P2的中点M(x，y)的坐标公式 4．向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)平行，则 (x1，y1)∥(x2，y2)x1y2－y1x2＝0． [点拨]　(1)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关； (2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．(　　) (2)向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化．(　　) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．(　　) (4)点的坐标与向量的坐标相同．(　　) 答案：　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知A(3，1)，B(2，－1)，则的坐标是(　　) A．(－2，－1) B．(2，1) C．(1，2) D．(－1，－2) C　[的坐标为(3－2，1－(－1))，即(1，2)，故选C．] 3．已知在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(5，0)，D(2，4)，对角线AC，BD相交于点M，则的坐标是(　　) A． B． C． D． A　[＝＝[(5，0)－(2，4)]＝(3，－4)＝．] 4．设i＝(1，0)，j＝(0，1)，a＝3i＋4j，b＝－i＋j，则a＋b与a－b的坐标分别为________________． 解析：　由已知a＝3i＋4j，b＝－i＋j， 得a＋b＝(3i＋4j)＋(－i＋j)＝2i＋5j， a－b＝(3i＋4j)－(－i＋j)＝4i＋3j， 又i＝(1，0)，j＝(0，1)， 所以a＋b，a－b的坐标分别是(2，5)，(4，3)． 答案：　(2，5)；(4，3) 探究点一　向量线性运算的坐标表示 (1)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　) A．(－7，－4) B．(7，4) C．(－1，4) D．(1，4) (2)已知向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求a＋b，a－b的坐标． 解析：　(1)方法一：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A． 方法二：＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A． (2)a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)． 答案：　(1)A 向量坐标运算的方法 (1)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据两个向量的和、差运算法则进行计算． (2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标． (3)求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标．　　 即时练1．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若a－2b＋3c＝0，则c＝(　　) A．(1，) B．(－，) C．(－，) D．(－，－) D　[∵a－2b＋3c＝0， ∴c＝－(a－2b)＝b－a， 又a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)， ∴(x，y)＝(－4，－3)－(5，－2)＝(－，－)． 故选D．] 即时练2．在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是(　　) A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2) B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2) 学生用书第18页 C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3) B　[根据a＝λe1＋μe2， 当e1，e2不共线时，λ，μ的值唯一确定， 当e1，e2共线时，不存在实数λ，μ使结论成立， B中的e1，e2不共线，满足题意． A、C、D中的e1，e2不合题意．