2024年中考 数学二轮专题复习 ：三角函数在学科内的六种综合应用

三角函数在学科内的六种综合应用 1.三角函数与其他函数的综合应用：此类问题常常利用函数图象与坐标轴构造直角三角形，再结合锐角三角函数求线段的长，最后可转化为求函数图象上的点的坐标. 2.三角函数与方程的综合应用：主要是与一元二次方程之间的联系，利用方程根的情况，最终转化为三角形三边之间的关系求解. 3.三角函数与圆的综合应用：主要利用圆中的垂径定理、直径所对的圆周角是直角等，将圆中的边角关系转化为同一直角三角形的边角关系求解. 4. 三角函数与相似三角形的综合应用：此类问题常常是由相似得成比例线段，再转化成所求锐角的三角函数. 分类训练 应用1 三角函数与一次函数的综合应用 1．如图所示，直线y＝kx﹣1与x轴和y轴分别交于B，C两点，OC＝2OB． （1）求点B的坐标和k的值； （2）若点A（x，y）是第一象限内直线y＝kx﹣1上的一个动点，在点A运动的过程中，试写出△AOB的面积S与x满足的函数关系式； 分析：（1）阅读题目信息并观察图形，首先求得直线y＝kx﹣1与y轴的交点，即可求出点C的坐标，从而得到OC的长度；结合已知OC＝2OB可得OB，进而求得点B的坐标，接下来将点B的坐标代入解析式中，即可求得k的值； （2）由点A和点B的坐标可得点A到OB的距离为y以及OB的长度，接下来利用三角形的面积公式即可得到△AOB的面积S与x的函数关系式； 应用2 三角函数与二次函数的综合应用 如图，已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3的图象与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，其顶点为D，直线DC的函数解析式为y＝kx﹣3．已知sin∠OBC． （1）求二次函数的函数解析式和直线DC的函数解析式； （2）连接BD，求△BCD的面积． 分析：（1）根据抛物线的解析式可得出C点的坐标为（0，3），即OC＝3，然后可根据sin∠OBC求出OB的长，即可得出B点的坐标，然后将B点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式．也就能求出A、D两点的坐标，然后根据D、C的坐标，用待定系数法求出直线CD的解析式． （2）可根据三角形的面积公式求出△BCD的面积． 应用3 三角函数与反比例函数的综合应用 3．如图，一次函数y＝ax+b的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与反比例函数y（x＞0）的图象交于点C、D．若tan∠BAO＝2，BC＝3AC． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△OCD的面积． 分析：（1）求出A，B两点坐标，代入直线的解析式求出a，b，再求出点C的坐标，求出k即可； （2）构建方程组求出点D的坐标，再利用割补法求出三角形面积． 应用4 三角函数与方程的综合应用 4．关于x的方程2x2﹣5xsinA+2＝0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角． （1）求sinA的值； （2）若关于y的方程y2﹣10y+k2﹣4k+29＝0的两个根恰好是△ABC的两边长，求△ABC的周长． 分析：（1）利用判别式的意义得到Δ＝25sin2A﹣16＝0，解得sinA； （2）利用判别式的意义得到100﹣4（k2﹣4k+29）≥0，则﹣（k﹣2）2≥0，所以k＝2，把k＝2代入方程后解方程得到y1＝y2＝5，则△ABC是等腰三角形，且腰长为5． 分两种情况：当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，利用三角函数求出AD＝3，BD＝4，再利用勾股定理求出BC即得到△ABC的周长； 当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB＝5，利用三角函数求出AD得到AC的长，从而得到△ABC的周长． 应用5 三角函数与圆的综合应用 如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE＝∠ABC． （1）求证：EF与⊙O相切； （2）若BF＝1，sin∠AFE，求BC的长． 分析：（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得OE⊥EF即可； （2）根据锐角三角函数可求出半径，进而得到AB的长，再根据直角三角形的边角关系求出AC，由勾股定理求出BC即可． 应用6三角函数与相似三角形的综合应用 如图，将矩形纸片ABCD（AD＞DC）沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为E，折痕交AB边于点F． （1）若BE＝1，EC＝2，求sin∠EDC的值； （2）若BE：EC＝1：4，CD＝9，求BF的长． 分析：（1）由折叠可知AD＝DE，根据矩形性质得AD＝BC，结合已知即可求出； （2）根据题意得AD＝DE＝BC，设BE＝x，则EC＝4x，AD＝5x，在Rt△CDE中，由勾股定理解得x＝3，求出BE＝3，CE＝12，由∠DEF＝∠A＝90°，∠BFE+∠BEF＝90°求得∠BFE＝∠DEC，可得△BEF～△CDE，利用