5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

课题 正弦函数，余弦函数的图象 教学目标 教学目标： 1.借助正弦函数的定义和单位圆，经历绘制正弦函数图象的过程，掌握描点法，掌握绘 制正弦函数图象的“五点法 ”； 2.在分析正弦函数、余弦函数相互关系的基础上，经历绘制余弦函数图象的过程，理解 其中运用的图象变换的思想. 教学重点：正弦函数、余弦函数的图象以及“五点法 ”. 教学难点：掌握准确绘制函数图象一个点的方法，并由此绘制出正弦函数的图象. 教学过程 时间 教学环节 主要师生活动 3 分钟 （一）规划 研究方案， 形成研究 思路 问题 1：三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数，按照函 数研究的方法，学习了三角函数的定义之后，接下来我们应该研究什 么问题？ 师生活动：明确学习三角函数定义后，应该继续研究三角函数的 图象和性质. 追问 1：之前研究指数函数、对数函数的图象和性质的思路是怎 样的？ 预设：研究思路是：函数的定义、函数的图象、函数的性质. 追问 2：绘制一个新函数图象的基本方法是什么？ 预设：绘制一个新函数图象的基本方式是描点法. 追问 3：根据三角函数的定义，需要绘制正弦函数在整个定义域 上的函数图象吗？选择哪一个区间即可？ 预设： 根据三角函数的定义，单位圆上任意一点在圆周上旋转 一 周 又 回 到 原 来 的 位 置 ， 这 一 特 性 已 经 用 公 式 一 表 示 ： sin(c + k. 2π) = sinc ，cos(c + k. 2π) = cos c ，其中k E Z ．根 据公式一，可以简化对正弦函数、余弦函数图象与性质的研究过程．方 便起见，我们可以先画函数 y = sin x ， x E[0, 2π]的图象，再画出 正弦函数 y = sin x ， x E R 的图象. 设计意图： 规划研究方案，构建本单元及本节课的研究路径， 以便从整体上掌握整个单元的学习过程，形成整体观念. 10 分钟 （二）正弦 函 数 的 图 象 问题 2：描点法是画函数图象的基本方法，对于正弦函数，大家 想取哪些点、怎样描点画图呢？ 学生活动：学生可能会说，对于自变量 x 在[0, 2π] 上随意取一 些值，然后利用计算器算出函数值，再在平面直角坐标系上描点连线. 教师提示：这样作图应该能够得到正弦函数图象的大致形状，但 是三角函数中会出现无理数，这样作图明显不够精确，而且也没有利 用到三角函数的定义，缺少了三角函数定义和图象之间的内在联系， 所以需要寻求更精确、并且利用到三角函数定义的方法. 问题 3：绘制函数的图象，首先需要准确绘制其上一点．对于正 弦函数，在[0, 2π]上任取一个值x0 ，如何借助单位圆确定正弦函数 值 sin x0 ，并准确画出点T(x0 , sin x0 ) ？ 预设：请大家看图，在平面直角坐标系中画出以原点 O 为圆心 的单位圆，且单位圆与 x 轴正半轴的交点为 A(1, 0) ．在单位圆上， 将 点 A 绕 着 点 O 旋 转 x0 弧 度 至 点 B ． 根 据 弧 度 制 的 定 义 c = ,x0 既是 经AOB 的大小，也是弧 AB 的长度；根据正弦函数 的定义，点B 的纵坐标 y0 = sin x0 ．由此，以x0 为横坐标， y0 为纵 坐标画点，即得到函数图象上的点T(x0 , sin x0 ) ．在没有信息技术的 情况下，可以用“手工绕线法 ”完成，同学们可以课下思考. 设计意图：教师引导学生剖析一个点的画法，深化对正弦函数定 义的理解；通过分析点的坐标的几何意义，准确描点. 问题 4：我们已经学会绘制正弦函数图象上的某一个点，你能类 比指数函数、对数函数图象的画法，画出 y = sin x ， x e [0, 2π] 的 图象吗？ 师生活动：师生共同讨论方案，教师指导并完善方案. 方案 1：在区间[0, 2π] 内任取一些横坐标的值，按照上述方法逐 一绘制，再用光滑的曲线连接. 教师点评：随意取值，横坐标 x0 可能会出现比较多的无理数， 不容易在x 轴上准确定位；而且根据弧度制的定义，x0 的值是弧 AB 的长度，不容易平移，所以在单位圆上定位 x0 弧度的角的终边时， 存在一定困难. 方案 2： x0 取 1 、2 、3 等值，再按照上述方式绘制图像. 教师点评：1 、2 、3 等弧度数在 x 轴上可以准确定位，但是在单 位圆上定位这些弧度的角的终边时，仍然存在上述的问题. 方案 3： x0 取比较熟悉的特殊角，如 、 、 等. 教师点评： [0, 2π] 内的这些特殊角是大家比较熟悉的，在 x 轴 上比较容易定位，但是在单位圆上怎样确定点 B 的位置呢？究竟取 哪些、怎样取特殊角，才能即简便又准确呢？ 方案 4：在区间[